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概率论的基本概念

约 1156 个字 预计阅读时间 6 分钟

样本空间、随机事件

对随机现象进行观察、记录、试验，称为随机试验 (random experiment)，其具有以下三个特点：

(1) 可以在相同条件下重复进行

(2) 每次试验可能出现的结果是不确定的，但能事先知道试验的所有可能结果

(3) 每次试验完成前不能预知发生哪个结果

所有可能结果可以有无限个，但需要可列 (与 \(N\) 等势)

  • 随机试验所有可能结果构成的集合就是 样本空间 (sample space) ，常用字母 \(S\) 或 \(\Omega\) 表示
  • 样本空间 \(S\) 中的每一个元素，即试验的每一个结果称为 样本点 (sample point)
  • 样本空间的任一子集称为 随机事件 (random event) ，简称事件，常用字母 \(A\),\(B\),\(C\) 等表示，或用文字加大括号明确其含义
    • 特别地，只含有一个样本点的事件称为 基本事件 (elementary event)

通过以上定义，可以发现随机事件的相互关系及运算与集合类似，且可以用维恩图 (Venn) 来表示：

Venn.jpg

由于集合的运算基本人尽皆知，此处不再费时列出

频率与概率

在相同条件下进行 \(n\)(\(n\ge 1\)) 次重复实验，记事件 \(A\) 发生 \(n_A\) 次，则称比值 \(\frac{n_A}{n}\) 为事件 \(A\) 在这 \(n\) 次试验中发生的频率 (frequency) ，记为 \(f_n(A)\)

称 \(n_A\) 为 \(A\) 在这 \(n\) 次试验发生的频数

由事件频率的定义，易知其具有以下性质：

(1) 对任一事件 \(A\) ，\(0\ge f_n(A) \ge 1\)

(2) \(f_n(S) = 1\)

(3) 若事件 \(A\) 与 \(B\) 互不相容，即 \(A\cap B = \emptyset\) ，则 \(f_n(A\cup B) =f_n(A) +f_n(B)\)

当总试验次数 \(n\) 充分大时，\(A\) 的频率 \(f_n(A)\) 的稳定值 \(p\) 定义为事件 \(A\) 的概率，记为 \(P(A) = p\) ，这是概率的统计性定义

统计性定义在实践中难以达到统一，且在数学上不够严谨，因此有了如下概率的公理性定义：

(1) 非负性: \(P(A)\ge 0\)

(2) 规范性: \(P(S)=1\)

(3) 可列可加性: 对可列个两两互不相容的事件 \(A_1, A_2, A_3,..., A_n,...\) ，有：

\[ P(\bigcup ^n _{j=1} A_j) = \sum ^{+\infty} _{j=1} P(A_j) \]

满足以上三条公理，则称 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 发生的概率

同样与集合类似，概率的加法公式如下：

\[ P(\bigcup ^n _{j=1} A_j) = \sum ^n _{j=1} P(A_j) - \sum_{i\lt j} P(A_i A_j) +\sum _{i\lt j\lt k} P(A_i A_j A_k) -...+(-1)^{n-1} P(A_1 A_2 ...A_n) \]

古典概型

古典概型，即等可能概型，满足以下两个条件：

  • 有限性 ：S 中样本点有限
  • 等可能性 ：出现每一样本点的概率相等

例 1 ： 有 N 件产品，其中 D 件是次品，从中不放回的取 n 件， 记 \(A_k :＝ {恰有k件次品}\)，\(k\le D\) ， 求 \(P(A_k)\) :

\[ P(A_k) =\frac{C^k_D C^{n-k}_{N-D}}{C ^n_D} \]

例 2 ： 生日问题，n 个人中，至少两个人生日相同的概率为？

\[ P=1-\frac{A^n_{365}}{ 365^n} \]

从八人中随机选一人，怎么选？

一枚硬币投三次，二进制数是几就是哪个人

条件概率与全概率公式

条件概率公式如下：

\[ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\ ,\ P(A)\ne 0 \]

条件概率具有概率的所有性质，即非负性、规范性、可列可加性

条件概率的乘法公式如下：

\[ P(A_1 A_2 ...A_n)=P(A_1)P (A_2 |A_1) P(A_3|A _1A _2)... P(A_n |A_1 A_2 ...A_{n-1}) \]

全概率公式如下：

\[ P(A)=\sum ^n_{j=1} P(B_j)\cdot P(A|B_j) \]

其中，\(B_1, B_2, ...,B_n\) 为样本空间的划分

运用好全概率公式，关键在于构造一组合适的划分

根据全概率公式，又可以得到贝叶斯公式：

\[ P(B_i |A) =\frac{P(B_i)\cdot P(A|B_i)}{\sum ^n_{j=1} P(B_j)\cdot P(A|B_j)} \]

独立性

设 \(A\),\(B\) 为两个随机事件，如果满足 \(P(AB)=P(A)P(B)\) ，则称 \(A,B\) 相互独立，且有：

\[ A,B 相互独立 \Leftrightarrow \bar{A}B 相互独立 \Leftrightarrow A\bar{B} 相互独立 \Leftrightarrow \bar{A}\bar{B} 相互独立 \]

设 \(A_1, A_2,..., A_n\) 为 n 个随机事件，若对 \(2\le k\le n\) ，均有：

\[ P(A_{i _1} A_{ i_2} ...A_{i _k}) =\Pi ^k_{j=1} P(A_{i _j}) \]

则称 \(A_1, A_2,..., A_n\) 相互独立

两两独立不能推出相互独立

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