随机变量及其分布¶

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随机变量¶

设随机试验的样本空间为 \(S={e}\) ，若 \(X=X(e)\) 为定义在样本空间 \(S\) 上的实值单值函数，则称 \(X=X(e)\) 为随机变量。

实值单值函数

指自变量x和函数y都在实数范围内取值，且对于每个x，均有唯一确定的y和它对应的函数

常见的两类随机变量分别为离散型随机变量和连续型随机变量

离散型随机变量¶

取值至多可数的随机变量称为离散型随机变量，其概率分布（分布律）为：

X	\(x_1\)	\(x_2\)	...	\(x_i\)	...
P	\(p_1\)	\(p_2\)	...	\(p_i\)	...

\[ \text{且有} p_i\ge 0,\ \sum p_i=1 \]

例 1：

某人上学路上要经过三个红绿灯，每次到路口时为红灯的概率为 \(p\) ，以 \(X\) 表示首次停车时所通过的红绿灯数，求其概率分布律：

X	0	1	2	3
P	\(p\)	\(p(1-p)\)	\(p(1-p)^2\)	\((1-p)^3\)

例 2：

若随机变量 \(X\) 的概率分布律为

\[ P(X=k)=\frac{c\lambda^k}{k!},\ k=0,1,2,...,\ \lambda \gt 0 \]

求常数 c：

\[ 1=\sum P(X=k) = c\sum \frac{\lambda^k}{k!} =c e^{\lambda} \]

0-1 分布¶

若随机变量 \(X\) 的分布律为：

X	0	1
P	\(1-p\)	\(p\)

则称 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的 0-1 分布（两点分布），记为 \(X\sim 0-1(p)\) 或 \(B(1,p)\)

它的分布律也可以写作：

\[ P(X=k)=p^k (1-p)^{1-k} \]

对于一个样本空间仅含两个元素的随机事件 \(S=\{e_1, e_2\}\) ，我们总能在 \(S\) 上定义一个服从 0-1 分布的随机变量来描述这个随机试验的结果：

\[ X=X(e)=\left \{ \begin{array}l 0 , & \text{当} e=e_1 \\ 1, & \text{当} e=e_2 \end{array} \right . \]

二项分布¶

设试验 \(E\) 只有两种可能的结果：\(A\) 和 \(\overline{A}\) ，\(p(A)=p\) ，将试验 \(E\) 独立地重复进行 n 次，则称这一串重复的独立试验为 n重贝努利试验

设 \(A\) 在n重贝努利试验中发生 \(X\) 次，则其分布律为：

\[ P(X=k) =C^k _n p^k(1-p) ^{n-k},\ k=0,1,... \]

则称 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的二项分布，记为 \(X\sim B(n,p)\)

泊松分布¶

设随机变量 \(X\) 的概率分布律为：

\[ P(X=k) =\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\ k=0,1,2,...,\ \lambda \gt 0 \]

则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布，记为 \(X=P(\lambda)\)

二项分布和泊松分布有如下近似公式

超几何分布¶

若随机变量 \(X\) 的概率分布律为：

\[ P(X=k) =\frac{C^k _a C^{n-k}_b}{C ^n_N},\ k=l_1, l_1+1,..., l_2 \]

其中 \(l_1 = \max (0,n-b),\ l_2=min(a,n)\) 。则称随机变量 \(X\) 服从超几何分布

例子

一袋中有 a 个白球，b 个红球，a+b=N。从中不放回地取 n 个球，设每次取到各球的概率相等，以 \(X\) 表示取到的白球数，则 \(X\) 服从超几何分布。

几何分布¶

若随机变量 \(X\) 的概率分布律为：

\[ P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\ k=1,2,3,...,\ 0\lt p\lt 1 \]

则称随机变量 \(X\) 服从参数 \(p\) 的几何分布

巴斯卡分布¶

若随机变量 \(X\) 的概率分布律为：

\[ P(X=k)=C^{r-1}_{k-1} p^r(1-p) ^{k-r},\ k=r,r+1,r+2,... \]

则称随机变量 \(X\) 服从参数为 \((r,p)\) 的巴斯卡分布

连续型随机变量¶

对于随机变量 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\) ，若存在非负的函数 \(f(x)\) 使得对于任意实数 \(x\) 都有：

\[ F(x)=\int_\infty ^x f(t)dt \]

则称 \(X\) 为连续性随机变量。其中 \(f(x)\) 为随机变量 \(X\) 的概率密度函数，简称密度函数，其有如下性质：

（1）\(f(x)\ge 0\)

（2）\(\int _{-\infty} ^{+\infty} f(x)dx=1\)

（3）对任意实数 \(x_1,x _2( x_2\gt x_1)\) ，有 \(P\{x_1 \lt X\le x_2\}= \int _{x_1} ^{x_2}f(x)dx\)

（4）在连续点，\(F'(x)=f(x)\)

概率为零不一定为不可能事件

均匀分布¶

设随机变量 \(X\) 具有概率密度函数：

\[ f(x)=\left \{ \begin{array}l \frac{1}{b-a}, & x\in (a,b) \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right . \]

则称随机变量 \(X\) 在区间 \((a,b)\) 上服从均匀分布，记为 \(X\sim U(a,b)\)

指数分布¶

设随机变量 \(X\) 具有概率密度函数：

\[ f(x)= \left \{ \begin{array}l \lambda e^{-\lambda x} & , x\gt 0 \\ 0 & , x\le 0 \end{array} \right . \]

其中 \(\lambda \gt 0\) 为常数，则称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布，记为 \(X\sim Exp(\lambda)\) 或 \(X\sim E(\lambda)\)

根据定义可得指数分布的分布函数为：

\[ F(x) =\left \{ \begin{array}l 1-e^{-\lambda x}, & x\gt 0 \\ 0, & x\le 0 \end{array} \right . \]

需要特别注意，指数分布的 \(X\) 具有以下 无记忆性

\[ P(X\gt t_0 +t |X\gt t_0) = P(X\gt t) \]

如果 \(X\) 表示等待时间，那么无记忆性表明只要还没等到，剩余等待时间仍然服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布；

如果 \(X\) 表示元件寿命，那么无记忆性表明只要还没坏掉，剩余元件寿命仍然服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布。

例题

题面答案

正态分布¶

设随机变量 \(X\) 具有概率密度函数：

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu) ^2}{2\sigma ^2}},\ -\infty \lt x\lt \infty \]

其中 \(-\infty \lt \mu\lt \infty,\ \sigma \gt 0\) 为常数，则称随机变量 \(X\) 服从参数为 \(\mu,\sigma\) 的正态分布（Gauss分布），记为 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)

在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布

傻逼浙大正态分布

随机变量的概率分布函数¶

随机变量 \(X\) ，若对任意实数 \(x\) ，函数 \(F(x)=P(X\le x)\) ，称其为 \(X\) 的分布函数。

（1）\(0\le F(x)\le 1\)
（2）\(F(x)\) 单调不减，且 \(F(-\infty) =0,F(+\infty)=1\)
- \(P(x_1\lt X\le x_2)= F(x_2) -F(x_1)\)
（3）\(F(x)\) 右连续，即 \(F(x+0)=F(x)\)
（4）\(P(X=x)=F(x)-F(x-0)\)

一般的，设离散型随机变量的分布律为 \(P(X=x_k)= p_k\) ，由概率的可列可加性得 \(X\) 的分布函数为：

\[ F(x)=\sum _{x_k\le x} p_k \]

分布函数在 \(x=x_k\) 处均有跳跃，跳跃值为 \(p_k=P(X= x_k)\)

随机变量函数的分布¶

在实际问题中，我们常会碰到已知一随机变量的分布，要求这一变量的函数分布问题。例如，测量一个圆的面积，总是测量其半径；而半径的测量值可看作随机变量 \(X\) ，则求对应圆面积的分布。

这类题的做题步骤为：

<1> 确定 \(Y\) 的取值范围
<2> 写出 \(Y\) 的概率分布函数 \(F_Y (y)=P\{Y\le y\}\) ，找出 \(\{Y\le y\}\) 的等价事件 \(\{x\in D\}\)
<3> 对得到的 \(F_Y (y)\) 求导，得到对应的概率密度函数 \(f_Y(y)\)

例子

设随机变量 \(X\) 具有密度函数 \(f_X(x)\) ，求随机变量 \(Y=|X|\) 的概率密度函数：

当 \(y\le 0\) 时，\(F_Y(y)=0\)
当 \(y\gt 0\) 时：
- \(F_Y (y)=P\{Y\le y\}=P\{|X|\le y\}=F_X(y) - F_X(-y)\)
- 求导可得 \(f_Y(y)= f_X(y) + f_X(-y)\)

综上：

\[ f_Y(y) = \left \{ \begin{array}l f_X(y) + f_X(-y) & ,y\gt 0 \\ 0 &, y\le 0 \end{array} \right . \]

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