假设检验¶

基本思想¶

统计假设简称假设，通常用字母 \(H\) 表示。一般我们同时提出两个完全相反的假设，习惯上把其中一个称为原假设或零假设，用 \(H_0\) 表示；把另一个假设称为备择假设或对立假设，用 \(H_1\) 表示。

• <1> \(H_0: \theta \ge \theta_0,\ H_1: \theta \lt \theta_0\)
  • 左侧检验
• <2> \(H_0: \theta \le \theta_0, H_1: \theta \gt \theta_0\)
  • 右侧检验
• <3> \(H_0: \theta= \theta_0, \ H_1:\theta \ne \theta_0\)
  • 双侧检验

在检验假设问题中，若寻找到某个统计量，其取值大小和原假设 \(H_0\) 是否成立有密切联系，我们称之为该假设检验问题的检验统计量。对应于拒绝原假设的样本值范围称为拒绝域 \(W\)，拒绝域的补集 \(\bar{W}\) 称为接受域。

由于样本的随机性，任一检验规则在应用时都有可能发生错误判断：

• 第I类错误： 拒绝真实的原假设（弃真）
  • \(\alpha =P\{\text{第一类错误}\}=P\{\text{拒绝}H_0| H_0\text{为真}\}= P_{ H_0}\{\text{拒绝}H_0\}\)
• 第II类错误： 接受错误的原假设（存伪）
  • \(\beta =P\{\text{第二类错误}\}=P\{\text{接受}H_0| H_0\text{为伪}\}= P_{ H_1} \{\text{接受} H_0\}\)

下面，我们以课本例子 8.1.1 来演示如何计算错误判断的概率:

题面 随机抽取 9 位试验者服用减肥药，记录服用前后的体重差值为 \(X\) (服药前-服药后)：

假设 \(X\sim N(\mu, 0.36)\)，\(\mu\) 未知。根据目前的样本资料，能否认为该减肥药有效？

我们对参数 \(\mu\) 提出假设：

由于样本均值是参数 \(\mu\) 的无偏估计，则当 \(\mu\) 越小，样本均值 \(\bar{X}\) 也应该偏小才正确。我们根据此理论来指定规则：

对临界值 \(C\) 的判断可由奈曼-皮尔逊原则计算，即使得第I类错误的概率为给定的显著水平：

由于假设原假设 \(H_0\) 为真，可以将 \(\mu=0\) 代入，即 \(\frac{\bar{X}}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)\)，则：

因此，该假设的拒绝域为 \(W=\{\bar{X}\ge 0.329\}\)，但题目中给出的样本均值为 \(\bar{x}=0.522\gt 0.329\)，即样本落入拒绝域。因此，我们有 \(95\%\) 的把握拒绝原假设 \(H_0\)，即认为该减肥药有效果。

单个正态总体参数的假设检验¶

参数 \(\mu\) 的假设检验¶

若 \(\sigma^2\) 已知

先考虑双边假设问题:

其中 \(\mu_0\) 是已知的常量，此时可取假设统计量为：

若原假设成立，即 \(\mu_0= \mu\) ，则 \(Z\sim N(0,1)\) ，则在给定的显著水平 \(\alpha\) 下，检验的拒绝域为：

因此，若将样本均值 \(\bar{x}\) 代入得到结果 \(|z_0| =\left|\frac{\bar{x}- \mu_0}{ \sigma / \sqrt{n}}\right|\ge z_{ \alpha / 2}\) 时，我们有 \(100(1-\alpha)\%\) 的把握拒绝原假设，即 \(\mu\ne \mu_0\) 。

另一种判断方法是根据 P-值 进行判断:

即 P-值 小于等于 \(\alpha\) 时拒绝原假设，否则不能拒绝原假设。

而对于左侧、右侧检验，其拒绝域和 P-值 分别为：

• 左侧检验
  • \(W=\left\{Z=\frac{\bar{X}- \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \le -z_{\alpha}\right\}\)
  • \(P值=P_{ H_0}\{Z\le z_0\}= \Phi( z_0)\)
• 右侧检验
  • \(W=\left\{Z=\frac{\bar{X}- \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \ge z_{\alpha}\right\}\)
  • \(P值=P_{ H_0}\{Z\ge z_0\}= 1-\Phi( z_0)\)

若 \(\sigma^2\) 未知

实际应用中，总体方差常常未知，此时我们不能采用 Z 检验，需要用样本方差代替 \(\sigma^2\) ：

若原假设成立，即 \(\mu_0= \mu\) ，则 \(T\sim t(n-1)\) ，则在给定的显著水平 \(\alpha\) 下，检验的拒绝域为：

对应的 P-值 为：

• 左侧检验
  • \(W=\left\{Z=\frac{\bar{X}- \mu_0}{S / \sqrt{n}} \le -t_{\alpha}(n-1)\right\}\)
  • \(P值=P\{t(n-1)\le t_0\}\)
• 右侧检验
  • \(W=\left\{Z=\frac{\bar{X}- \mu_0}{S / \sqrt{n}} \ge t_{\alpha}(n-1)\right\}\)
  • \(P值=P\{t(n-1)\ge t_0\}\)

参数 \(\sigma^2\) 的假设检验¶

我们不妨认为参数 \(\mu\) 未知，其假设问题包括：

• 双边假设： \(H_0: \sigma^2 =\sigma_0^2, \ H_1: \sigma^2 \ne \sigma_0^2\)
• 左侧检验： \(H_0: \sigma^2 \ge\sigma_0^2, \ H_1: \sigma^2 \lt \sigma_0^2\)
• 右侧检验： \(H_0: \sigma^2 \le \sigma_0^2, \ H_1: \sigma^2 \gt \sigma_0^2\)

其中 \(\sigma_0^2\) 是已知的常量，若有 \(\sigma_0^2 =\sigma^2\)，则检验统计量 \(\chi^2\) 服从 \(\chi^2 (n-1)\) 分布：

在给定显著水平 \(\alpha\) ，以及值 \(p_0= P\{\chi^2(n-1) \le \chi_0^2\}\)

• 双边检验：
  • \(W=\{\chi^2 \ge \chi^2 _{\alpha / 2}(n-1) \text{ or }\chi^2\le \chi^2_{1- \alpha / 2} (n-1)\}\)
  • \(P值=2 \min (p_0, 1-p_0)\)
• 左侧检验：
  • \(W=\{\chi^2\le \chi^2_{1- \alpha} (n-1)\}\)
  • \(P值= p_0\)
• 右侧检验：
  • \(W=\{\chi^2 \ge \chi^2 _{\alpha}(n-1)\}\)
  • \(P值=1- p_0\)

两个正态总体参数的假设检验¶

比较两个正态总体均值的假设检验¶

实际上和一个正态总体的情况相同：

我们考虑双侧假设问题：

若 \(\sigma_1^2, \sigma_2^2\) 已知

当假设 \(H_0\) 成立时，\(\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{ n_1} + \frac{\sigma_2^2}{ n_2}}} \sim N(0,1)\) ，采用 Z 检验可得拒绝域为：

P-值仍为：

若 \(\sigma_1^2= \sigma_2^2\) 但未知

首先取参数 \(\sigma_1^2 =\sigma_2^2= \sigma^2\) 的无偏估计量：

取检验统计量为：

当原假设 \(H_0\) 成立时，\(T\sim t(n_1 +n_2 -2)\)，则检验的拒绝域为：

P-值为：

比较两个正态总体方差的检验¶

有时候，在检验两正态总体均值前，需要先对正态总体方差是否相等进行检验，我们考虑下面的假设问题：

取检验统计量为：

当原假设 \(H_0\) 成立时，\(F\sim F(n_1 -1, n_2-1)\)，检验的拒绝域为：

设 \(p_0 = P\{F(n_1-1, n_2-1) \le f_0\}\)，则：

• 双边检验： \(P值=2\min \{p_0 , 1-p_0\}\)
• 左侧检验： \(P值= p_0\)
• 右侧检验： \(P值= 1- p_0\)