电学部分

库伦定律¶

在大物 I 中已有所考查

真空中两个静止的点电荷 \(q_1\) 与 \(q_2\) 之间的相互作用力的大小和 \(q_1\) 与 \(q_2\) 的乘积成正比，和它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸

\(\varepsilon_0\) 是真空中的介电常数，其数值等于 \(\frac{1}{4\pi k}=8.85\times10^{-12} C^2/(N\cdot m^2)\)

高斯定理¶

在大物 I 中已有所考查，但是大物 II 中依旧常用

过任意闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷量的代数和除以\(ε_0\)

• 通过闭合曲面的电通量只取决于闭合曲面内包围的净电荷，而与电荷的空间分布无关，但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向
• 闭合面外的电荷及其分布对闭合面上的电通量没有贡献，但将影响闭合面上各点的场强大小和方向，如下图两种情形： \(Φ_e\) 相同，但E不同:

电势¶

静电场的环路定理¶

① 电场力做功和路径无关

当试验电荷在静止点电荷电场中移动时，电场力所做的功，仅与试验电荷电量的大小及其起点和终点的位置有关，而与电荷移动的路径无关

② 静电场环路定理

在静电场中，电场强度沿任意闭合回路的线积分恒等于零，即：

电势能与电势¶

当试验电荷 \(q_0\) 从 a 点移动至 b 点，其间电场力所做的功应等于电荷静电势能增量的负值

• 电荷从高电势能点移向低电势能点，电势能减小，电场力做正功
• 电荷从低电势能点移向高电势能点，电势能增加，电场力做负功

电势能是相对的，需要规定一个电势能为 0 的参考点。若无特殊规定，通常取无限远处为电势能为 0 的点，那么电势能等于：

电势是某点电势能与试验电子的电荷量的比值，是只与位置有关的函数：

电势叠加原理: 点电荷系电场中某点的电势，等于每一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和

根据电势定义，可以求出单个点电荷 q 在距离为 r 处产生的电势为 \(U=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 r}\)

分别算出各个点电荷在该点处的电势，最后根据电势叠加原理相加即可得到该点的电势

若电荷连续分布，一般将其分解成微元电荷 \(dq\) ，表示出 \(dU\) 后进行积分求解

从电势求电场¶

引入电势后，电场力做功可以表示为：

那么，取距离为极小值，可以求出此处的电场强度：

即，电场中任一点的电场强度矢量，等于该点电势梯度矢量的 负值

静电场中的金属导体¶

静电平衡¶

外电场引起导体上自由电子的移动，使导体带上等量异号的感应电荷。感应电荷激发附加电场，改变导体内外的电场。当导体内的外电场与附加电场正好相互抵消时，导体上的自由电子停止宏观运动，导体达到静电平衡。

静电平衡的特点：

• 场强与电势
  • 导体内部场强处处为 0，且表面外侧紧靠表面处的场强处处与表面垂直
  • 导体是一个等势体，导体表面是一个等势面
• 电荷分布
  • 电荷只分布在导体的表面上
  • 导体上所有电荷的代数和不变
  • 导体表面场强与电荷面密度的关系： \(E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)
  • 孤立导体曲率越大的地方，电荷面密度越大

静电屏蔽¶

一个空腔导体位于外电场中，空腔内场强处处为 0 ，这时空腔内的物体或仪器不会受外电场影响，这就是所谓的静电屏蔽原理。

当想要某一仪器不受外电场影响，可以用一个金属罩把它包围起来，通常使用较密的金属网就能起到较好的屏蔽作用

相对的，如果将外表面接地，空腔内部放置一电荷，则可视为外部对内部静电屏蔽。即，内部电荷的电场不会影响外部

上图可说明，腔内电荷 A 可激发导体内外表面的电荷，但腔内电荷位置不能改变导体外表面电荷的分布；若导体外表面接地，腔内电荷 A 不会对导体外的物体产生影响

例题¶

讨论题：静电场中的导体¶

有两个带正电的小球 A,B ，其中小球 A 所带电荷远小于小球 B

教材例题 10-1¶

一块面积为 S 的金属大薄平板 A ，带电量为 \(Q\) ，在其附近平行放置另一块不带电的金属大薄平板 B ，两板间距远小于板的线度。试求两板表面的电荷面密度，以及周围空间的场强分布。

解答：

两板间距远小于板的线度，因此可视两板为无限大平面，且其表面电荷均匀分布，设从左到右四个面电荷面密度为 \(\sigma_1\),\(\sigma_2\),\(\sigma_3\),\(\sigma_4\) ，则根据高斯定理，由某个平面产生的电场强度为 \(E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\) ，规定向右为正，向左为负

根据电荷守恒，有：

根据静电平衡，两个导体内部场强均为 0，用场强叠加原理计算两处的场强：

联立上面四式，解得 \(\sigma_1 =\sigma_2 =\sigma_4 =\frac{Q}{2S},\sigma_3 = -\frac{Q}{2S}\)

再根据场强叠加即可求出 \(E_1\),\(E_2\),\(E_3\)

求球壳电势¶

在内外半径分别为 \(R_1\) 和 \(R_2\) 的导体球壳内，有一个半径为 \(r\) 的导体小球，小球与球壳同心，分别带电荷量 \(q\) 和 \(Q\) ，求小球的电势 \(U_r\) 以及球壳内外表面电势 \(U_{ R_1}\) 和 \(U_{R _2}\)

解答：

小球在球壳内表面感应出电荷 \(-q\) ，则球壳外表面总电荷为 \(Q+q\) ，那么根据电势叠加原理：

关于为什么球壳内表面在小球处产生的电势为 \(\frac{q}{R_1}\) ，这是因为球壳表面对其内部产生的电势处处相等，因此小球处电势等于内表面 \(R_1\) 处电势 （高中学过，即带电球壳内部电势处处相等，外部则将它看作带电小球）

电容器¶

两个带有等量异号电荷的导体组成的电容器，其电容定义为：

当 n 个电容进行串联，其能承受的总电荷不变，但是总电势差值 \(U_A - U_B = U_1 +U_2 +...+U_n\)

那么其等效电容有等式：

相比于单个电容，串联起来其等效电容减少，耐压增加

当 n 个电容进行并联，相应电量 \(Q=q_1 +q_2 +...+q_n\) ，电势差值不变

那么其等效电容等式：

相比于单个电容，并联增加总电容，而耐压值等于并联电容中最低的耐压值

平行板电容器¶

两板间的场强为

根据电容定义可得：

若两平行板之间充满了不同长度的电介质（串联），则电容为：

圆柱形电容器¶

设内外柱面电荷线密度为 \(+\lambda\) 和 \(-\lambda\) ，取单位长度，半径位于内外表面之间的圆柱面作为高斯面应用高斯定理：

那么积分得到

根据电容定义得到：

同心球形电容器¶

外表面对内外球壳之间不产生场强，则：

对其进行积分：

根据电容定义得到：

静电场中的电介质¶

电介质的极化¶

原子的正负电中心重合，每个原子的电偶极矩为零。几个原子构成分子时，正负电中心可重合，可不重合，前者称为无极分子，后者称为有极分子。

• 对有极分子，正负电荷中心组成等效分子电偶极矩 \(p\) ，大量分子的等效电偶极矩之和 \(\sum p =0\)
• 对无极分子，有 \(p=0\)

外电场加在电介质之上，在与外电场垂直的表面层里会出现正负电荷层，这些电子不能自由移动，称为束缚电荷或极化电荷，这种现象称为电介质的极化。

电极化强度矢量是单位体积内分子电偶极矩的式量和：

实验表明，对大多数各向同性电介质： \(\overrightarrow{P}= \chi_e \varepsilon_0 \overrightarrow{E}\) ，式中 \(\chi_e\) 称为介质的电极化率

电介质下的电场定理¶

电介质是电流不能通过，但是稍微有那么些导电能力的介质，一定要注意题目给的是导体还是电介质。如：

一空气平行板电容器，两板间距为 d ，极板上带电量分别为 +q 和 -q ，板间电势为 U ，忽略边缘效应；将电源断开，在两板间平行插入一厚度为 t （ t < d ）的金属板，则电容器电容变为：

插入导体，相当于两板之间距离变短。由于电场强度不变:

平行板电容器中插入电介质¶

对充满极化率为 \(\chi_e\) 的电介质的无限大平行板电容器，设平行板上自由电荷密度为 ±\(\sigma_0\) ，电介质上束缚电荷密度为 ±\(\sigma^\prime\)

• 自由电荷场强：\(|E_0| =\frac{\sigma_0}{ \varepsilon_0}\)
• 束缚电荷场强：\(|E^\prime| =\frac{\sigma^\prime}{ \varepsilon_0}\)

那么和电场场强为： \(E= E_0 -E^\prime = \frac{\sigma_0}{ \varepsilon_0} - \frac{\sigma^\prime}{ \varepsilon_0}\)

又 \(\sigma^\prime = P=\chi_e \varepsilon_0 E\) 代入上式：

即 \(E = \frac{E_0}{1+ \chi_e}\) ，电介质内部的场强 \(E\) 是场强 \(E_0\) 的 \(\frac{1}{1+ \chi_e}\) 倍

则平行板电容器两极板之间电势差 \(U=Ed=\frac{\sigma_0 d}{\varepsilon_0 (1+\chi _e)}\)

设电容器极板面积为 \(S\) ，总电荷量 \(q=\sigma_0 S\) ，按照电容的定义可得：

定义相对介电常数（或直接称为介电常数） \(\varepsilon = (1+\chi_e)\) ，需要注意其定义与大物甲中不同

电介质下的高斯定理与电位移矢量¶

高斯定理在有电介质存在时可写为：

式中 \(q_0\) 和 \(q'\) 分别为高斯面 \(S\) 内的自由电荷和束缚电荷

同时对于电极化强度 \(P\) ，我们有公式：

带入上式并整理即可得到：

为了不考虑极化电荷和附加电场，引入了电位移矢量 \(\overrightarrow{D}\)

那么电介质中的高斯定理满足：

即，通过电场中任意闭合曲面的位移电通量，等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和

静电场的能量¶

点电荷系统中的能量¶

点电荷系统的总能量可以表示为：

其中 \(U_i\) 为在点电荷 \(q_i\) 所在处由 \(q_i\) 以外其它所有电荷所产生的电势

电容器的能量¶

电场的能量¶

定义电能密度:

非均匀电场的能量即可用如下方式计算：