电磁学部分

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稳恒电流¶

定义¶

电流： 电荷的定向移动，产生条件有二
- （1）存在自由电荷
- （2）存在电场
载流子： 电荷的携带者
- 自由电子
- 自由离子
- 电子-空穴对（半导体P型空穴多，N型电子多）
传导电流： 自由电子、空穴、离子在导体中定向移动形成
电流强度： 单位时间内通过导体任一截面的电量（标量），单位为安培
- $I= dq / dt$
电流密度： 描述导体内一点的电流情况（矢量）
- $dI= \overrightarrow{j}\cdot d\overrightarrow{S}$
- $I=\int_S jdS$
- $j=-nev$
电流线： 电流密度 $j$ 形成的矢量场成为电流场，可引进电流线来描述电流场的分布，其具有以下特点
- （1）电流线切线方向为电流密度 $j$ 的方向
- （2）电流线密处 $j$ 大，疏处 $j$ 小
- （3）两电流线不相交

搞清楚自己在求什么

题面答案

有一导体圆筒，长度为 20m，内半径为 3mm，外半径为 9mm，若沿圆筒径向有 10mA 电流通过，则通过半径为 6mm 的圆柱面上的电流密度为？

\[j_m=\frac{I}{S}=\frac{I}{2\pi rl}=\frac{10}{2\pi \cdot 6\cdot 20}\]

电流密度与漂移速度的关系¶

j=-nev

电动势¶

电动势 $\varepsilon$ 是指电源内部，将单位正电荷从负极移动到正极时非静电力所作的功

\[ \varepsilon = \frac{A_k}{q} \]

稳恒磁场¶

磁感应强度¶

运动电荷在其周围空间产生磁场，通过磁场对其它运动电荷施加作用力

磁感应强度 B 反映场内某点的磁场方向与强弱（矢量场），单位为特斯拉（T）。则运动电荷以速度 v 在磁感应强度为 B 的某点运动时，受到的洛伦兹力为：

\[ \overrightarrow{F}= q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B} \]

磁感应线特点：

（1）磁感应线为闭合曲线，相应的磁场称涡旋场
（2）磁感应线的环绕方向与电流方向服从右手螺旋法则

右手螺旋法则

若是直线电流产生的磁场，大拇指指向电流方向，则其它四指的绕行方向就是 B 的方向

若是环形电流产生的磁场，其它四指的绕行方向为电流方向，则大拇指指向 B 的方向

由于运动电荷之间的磁相互作用力是一种相对论效应，磁力比电力小得多，因此研究两个运动电荷之间的力可以将洛伦兹力忽略（写题时可能不行 😂）

毕奥-萨伐尔定律¶

电流元 $Idl$ 在空间 P 点激发的磁感应强度公式为：

\[d\overrightarrow{B}= \frac{\mu _0}{4\pi} \frac{Id\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}}{ r^2\cdot r} \]

其中 $\overrightarrow{r}$ 为电流元指向 P 点的矢量，$\mu_0$ 为真空磁导率，大小 $4\pi\times 10^{-7}\ N/A^2$

对于磁感应强度，同样有叠加原理，则任意载流导线所激发的总磁感应强度为 $d\overrightarrow{B}$ 对 $r$ 积分

$Idl$ 亦可以变成 $vdq$

载流长直导线载流圆线圈轴线

\[\begin{array}c B=\int_L \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl\sin \theta}{r^2} \\ l=a\cot (\pi-\theta) \Rightarrow dl=a\csc ^2\theta d\theta \\ B=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\int^{\theta_2} _{\theta _1} \sin \theta d\theta =\frac{\mu_0I}{4\pi a}(\cos \theta_1 -\cos \theta_2) \end{array}\]

当 $L>>a$ 时，$\theta_1 = 0,\theta_2=\pi$ ，那么有：

\[B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}\]

将 $\cos \theta=\frac{R}{r}= \frac{R}{\sqrt{R^2 +x^2}}$ 带入：

\[\begin{array}c B=\int ^{2\pi R}_0 \frac{\mu_0IR}{4\pi(R ^2+ x^2) ^{3 / 2}} dx= \frac{\mu_0IR^2}{2(R ^2+ x^2) ^{3 / 2}} \end{array}\]

讨论两处特殊点情况：

（1）圆心角为$\theta$的圆弧电流在圆心处(圆线圈密绕N匝)，$x=0$ ：$B=\frac{\mu_0I\theta N}{4\pi R}$

（2）在轴线上远离圆线圈，$x>>R$ ：$B=\frac{\mu_0 IR^2}{2 x^3} = \frac{\mu_0 IS}{2\pi x^3}$

在求电流在某点磁感应强度时，要注意磁场方向并不是两点之间的方向，而是垂直的

磁偶极子¶

引入磁矩 $p_m$ 来描述载流线圈的磁性质：

\[p_m=NISn\]

其中单位矢量 $n$ 方向与电流环绕方向呈右手螺旋关系

引入磁矩概念后，在轴线上远离载流圆线圈的磁场为：

\[ B=\frac{\mu_0p _m}{2\pi x^3}\]

场点到场源的距离远大于线圈尺寸的载流线圈称为磁偶极子，一般来说，转动的带电球体等效于一个圆形电流，在远处可看作磁偶极子的场（如地球的磁场）

运动电荷的磁场¶

电荷的定向运动形成电流，可从毕奥-萨伐尔定律推导出运动电荷的磁场表达式

设带电粒子数密度为 $n$ ，每电荷带电量为 $q$ ，漂移速度为 $v$ ，电流元 $Idl$ ，导体的截面为 $S$ ，则：

\[j=qnv\ ,\ I=qnvS\]

不想证明了...还是记结果吧

总之，单个电荷 $q$ 以速度 $v$ 运动产生的磁感应强度为：

\[B=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{qv\times \overrightarrow{r}}{r^2 \cdot r}\]

磁场的高斯定理与安培环路定理¶

安培环路定理也被称为磁场的高斯定理

对闭合曲面 $S$ ，取外法线为正，磁力线从闭合曲面穿出，记磁通量为正，穿入则为负，则有：

\[\iint_S \overrightarrow{B}d\overrightarrow{S} = 0\]

磁场的高斯定理反映了无源场的特性；电场的高斯定理反映了有源场的特性。

我们在研究静电场时，得到静电场的环流为零；但对磁场而言，由于磁感应线是闭合的，B 的环流不为零。

在稳恒磁场中，磁感应强度 $B$ 沿任何回路的线积分等于闭合回路所包围电流的代数和的 $\mu_0$ 倍：

\[ \oint_L \overrightarrow{B}d\overrightarrow{l} = \mu_0\sum I_内 \]

磁场对电流的作用¶

安培力¶

载流导线在磁场中将受到力的作用，称这种力为安培力

对于某电流元 $Idl$ ，其受到的安培力为：

\[ d\overrightarrow{F}=Id\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B} \]

在均匀磁场中，一段弯曲导线收到的安培力和统一起点终点的直导线相同

定义一闭合回路的磁矩为：

\[ p_m = NISn \]

其中单位矢量 $n$ 方向与电流环绕方向呈右手螺旋关系

题面解答

从经典观点看，氢原子可以看作是一个电子绕核作高速旋转的体系，已知电子和质子的电荷分别为 $-e$ 和 $e$ ，电子质量为 $m_e$ ，氢原子的圆轨道半径为 $r$ ，电子作平面轨道运动，则电子轨道运动的磁矩为（）

由库伦定律和圆周运动，电子绕核的线速度：

\[\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r^2}=m_e\frac{ v^2}{r}\Rightarrow v=\frac{e}{\sqrt{4\pi m_e \varepsilon_0 r}}\]

根据电流的定义可得：

\[I=nev=e\frac{v}{2\pi r}\]

所以磁矩为：

\[p_m=IS= I\cdot \pi r^2 = \frac{e^2}{4}\sqrt{\frac{r}{\pi \varepsilon_0 m_e}}\]

一般情况下，线圈受到磁场的力矩为：

\[ dM=r\times (Idl\times B) \]

在均匀磁场中，线圈受到的力矩可以用下列公式计算：

\[ M=p_m\times B \]

一个任意的闭合载流回路，在磁场中改变位置或形状，磁力或磁力矩做功为电流大小与磁通量变化量的乘积：

\[ dA=Id\phi \]

平行长直导线间的相互作用力¶

省流：

\[dF_{21} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{ I_1 I_2}{d}\]

霍尔效应¶

处在均匀磁场中的通电导体薄板，当电流方向与磁场方向垂直时，则在垂直于磁场和电流方向的薄板上、下两端之间出现电势差。

定义霍尔效应产生的电压为霍尔电压：

$$ U_H = R_H \frac{BI}{d}, R_H=\frac{1}{nq} $$ 其中 $d$ 为薄板厚度，$n$ 为载流子浓度。

磁场中的磁介质¶

磁介质下的磁场定理¶

定义磁场强度

\[ H=\frac{B}{\mu _0} -M\]

在各向同性的磁介质中，磁化强度与磁场强度成正比，有基本关系如下：

\[ M=\chi_m H \Rightarrow B=\mu_0 (1+\chi_m) H = \mu_0 \mu H \]

$\chi_m$ : 磁化率
- 顺磁质为正，抗磁质为负(即，抗磁质的 $\mu_r \lt 1$)
- 铁磁质磁化率很大，且不是恒量
$\mu$ : 相对磁导率，简称磁导率

因此磁介质中安培环路定理为：

\[ \oint_L Hdl = \sum I_0 \ \ \ \ \text{(SI: A/m)} \]

其中 $I_0$ 为穿过回路 $L$ 的传导电流，不包括束缚电流。

搞清楚谁是谁

铁磁质 *¶

在大物乙中不考察

铁磁质的导电能力远大于顺磁质和抗磁质，且不同于弱磁性物质（顺磁质和逆磁质）的 $B-H$ 关系是线性变化的，铁磁质的磁化率随磁场变化。

铁磁质磁化至饱和状态后，减小 $H$ ，$B$ 的减小呈现滞后性，这种现象称为磁滞现象。这导致当磁场强度 $H=0$ 时，$B\ne 0$ ，需要令 $H=-H_c$ 才能使 $B=0$ ，磁场强度 $H_c$ 称为矫顽力，反映了铁磁质保留剩磁的能力。

实验表明，铁磁质在交变磁场作用下反复磁化的过程会发热，从而引起能量损耗。这种能量损失称为磁滞损耗。磁滞回线包围的面积越大，磁滞损耗也越大。

铁磁质的分类

软磁材料
- 软磁材料矫顽力较小，磁滞回线狭长，从而在交变磁场中磁滞损耗小，适合用作在交变磁场中使用的电子元件材料
硬磁材料（永磁体）
- 硬磁材料矫顽力较大，当外加磁场消失（$H=0$）后仍然保持较强的剩余磁感应强度

电磁感应¶

由磁通量变化产生的感应电动势，可分为磁感应强度变化引起的感生电动势，和导体在磁场中运动引起的动生电动势。

感生电动势¶

法拉第电磁感应定律指出，回路中包围的磁通量 $\Phi$ 发生变化时，回路中会产生感应电动势 $\varepsilon_i$ ：

\[ \varepsilon_i =- \frac{d\Phi}{dt} \]

其中，负号反映了感应电动势的方向，规定电流回路与原磁感应强度方向呈右手螺旋关系时为正。

对于 N 匝线圈，总感应电动势为全磁通 $\Psi$ 的时间变化率：

\[ \varepsilon_i = - \frac{d\Psi}{dt}, \text{其中 }\Psi = \Phi_1 +\Phi_2 +...+\Phi_n \]

楞次定律

闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发出的磁场去阻止引起感应电流的原磁通量的变化。

对于感生电动势，还有重要公式：

\[\varepsilon_i = \oint _L E_i \cdot dl\]

课本例题

在半径为 $r$ 的圆柱形空间内有一随时间以 $\frac{dB}{dt}$ 增加的均匀磁场，求空间各处的涡旋电场场强：

\[\begin{array}c r\lt R: \Phi_B = B\pi r^2 \\ \oint E_{旋}dl=E_{旋}\cdot 2\pi r=- \frac{d\Phi_b}{dt}=-\pi r^2 \frac{dB}{dt} \\ \Rightarrow E_{旋}=-\frac{1}{2}r \frac{dB}{dt}\end{array}\]

课件例题

在圆形变化磁场内放置一根长为 $L$ 的细棒 ab，与圆心 o 的垂直距离为 $h$，求棒上的感生电动势：

解法一：利用 $d\varepsilon = \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{y}$ 积分求解

取半径为 $r\lt R$ 的圆区域，由于：

\[\begin{array}c \varepsilon = \iint \frac{\Delta B}{\Delta t}dS = \frac{dB}{dt}\pi r^2 \\ \varepsilon = \oint E\cdot dl = 2\pi r\cdot E \\ E= \frac{r}{2} \frac{dB}{dt} \end{array}\]

在棒上任取线元 $dy$ ，与 $E$ 的夹角为 $\theta$ ，则感生电动势为：

\[\begin{array}c d\varepsilon_i = \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{y} =E\cdot \cos \theta \cdot dy = \frac{h}{2} \frac{dB}{dt} dy \\ \varepsilon_i = \int ^{\frac{L}{2}}_{\frac{-L}{2}} \frac{h}{2} \frac{dB}{dt} dy = \frac{hL}{2} \frac{dB}{dt} \end{array} \]

解法二： 利用法拉第电磁感应定律

作辅助线 oa,ob 构成假想回路 obao，由于在 oa,ob 上 $E$ 垂直于 $dl$ ，故在辅助线上感生电动势为零，则所求棒的感生电动势等于回路的感生电动势，利用包围磁通量关于时间的积分求解：

\[\begin{array}c \Phi =B\cdot S =\frac{1}{2}BhL \\ \varepsilon_i = \frac{-d\Phi}{dt} = \frac{-hL}{2} \frac{dB}{dt} \end{array} \]

更多辅助线例子

交流发电机

\[\begin{array}c\Phi=BS\cos \omega t \\ \Rightarrow \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}=BS\omega \sin \omega t\end{array}\]

动生电动势¶

对于线元 $dl$ ，其上产生的动生电动势：

\[\begin{array}c d\varepsilon_i =(v\times B)\cdot dl \\ \Rightarrow \varepsilon = \int （v\times B)\cdot dl \end{array}\]

如果是电子在运动，判断力的时候要注意 v 反向

对于一个长 $L$ 的直导线与磁场垂直绕一端转动，产生的电动势为：

\[ \varepsilon_i = \frac{1}{2}B \omega L^2 \]

(20-21 期末)

长为 L 的导体棒 OP 绕 OO' 轴以角速度 $\omega$ 旋转，棒与转轴夹角恒为 $\theta$，求感应电动势：

\[\begin{array}c v=\omega l \sin \theta \\ \varepsilon = \int_0 ^ L v\times B dl \sin \theta = \int_0 ^L \omega \sin^2\theta B ldl = \frac{1}{2}B\omega L^2 \sin^2\theta\end{array}\]

小技巧

一段非直线导体在磁场中转动，可以取首尾作辅助线构成闭合回路，求辅助线的感生电动势并取反
或者将导体与另一段不产生感生电动势的假想导体构成回路，则此时回路电动势就是所求的导体的电动势

自感和互感¶

由于回路电流变化在回路自身产生感应电动势，此时通过回路的全磁通 $\Psi$ 与电流 $I$ 成正比，则定义自感系数 $L$ 为：

\[ \Psi = L\cdot I \]

自感电动势可表示为：

$$ \varepsilon_i = -L \frac{di}{dt} $$ 因此，求自感系数和自感电动势的一般步骤为：

<1> 根据回路中的电流 $I$ ，算出磁场分布，然后用 $L = \frac{\Psi}{I}$ 求出自感系数
<2> 若此时通有随时间变化的电流 $i$ ，则可根据 $\varepsilon_i = -L \frac{di}{dt}$ 求出自感电动势

密绕螺线管的自感系数

\[\begin{array}c B=\mu_0 nI\\ \Psi=N\Phi_B=NBS= Sl\mu_0n^2I\\ L=\frac{\Psi}{I}=\mu_0 n^2lS= \mu_0n^2 V\end{array}\]

其中 $n=N/l$ 为单位长度匝数；$V=lS$ 是螺线管的体积。

LR电路:

电路接通时的电流： $I= \frac{\varepsilon}{R}(1-e^{-\frac{R}{L}t})$
电路切断时的电流： $I= \frac{\varepsilon}{R}e^{-\frac{R}{L}t}$

课本例题

一个回路中的电流变化在另一个回路产生感应电动势，称为互感现象。同样的，我们定义互感系数：

\[ \Psi _{21} =MI_1,\ \ \Psi_{12} =MI_2 \]

互感电动势可表示为：

\[ \varepsilon_{21} = -M \frac{dI_1}{dt} \]

课本例题

题面答案

两个共轴圆线圈半径分别为 $R,r$ ，匝数分别为 $N_1, N_2$ ，二者相距 $d$ 。设 $r$ 很小，则小线圈所在处可视为均匀磁场，求互感系数。

设半径为 $R$ 的大线圈有电流 $I$ 流过，则其在小线圈处产生磁场：

\[B=N_1 \frac{\mu_0}{2}\frac{IR^2}{( R^2+d^2)^{3/2}}\]

则互感系数为：

\[M=\frac{\Psi_{21}}{I} = \frac{N_2BS_2}{I}=\frac{ \mu_0 \pi N_1 N_2 R^2 r^2 I}{2(R^2 +d^2 )^{3/2}}\]

More Example

磁场能量¶

自感系数为 $L$ 的线圈建立稳定电流 $I_0$ 时，线圈中的磁场能量为：

\[ W_m = \frac{1}{2}L I_0 ^2 \]

类似于电场能量密度，我们有磁能密度定义：

\[ \omega _m = \frac{1}{2} B\cdot H \]

对 $dV$ 进行积分即可求得磁场能量。

电磁场与电磁波¶

麦克斯韦方程组：

\[\begin{array}c \oint _S D\cdot dS = \int _V \rho dV=\sum q \\ \\ \oint _L E\cdot dl = - \frac{d\Phi_B}{dt} = -\oint \frac{\partial B}{\partial t} \cdot dS \\ \\ \oint _S B\cdot dS =0 \\ \\ \oint _L H\cdot dl =\sum {I} + \frac{d\Phi_D}{dt} =\int_S j\cdot dS +\int_S \frac{\partial D}{\partial t} \cdot dS \end{array} \]

其中全电流等于传导电流和位移电流之和：

\[ I_{全}=I+ I_D = \oint_L H\cdot dl \]

通过某一截面的位移电流等于该截面电位移通量随时间的变化率

\[I_D= \frac{d\Phi_D}{dt}\]

平行板的位移电流

More Example: 根据安培环路定理求位移电流

振荡电偶极子辐射的电磁波在距离 $r$ 足够大时是球面波，这时波的振幅与距离 $r$ 成反比。但在远离振荡电偶极子的空间，电磁波可看成平面波。下面是自由空间传播的电磁波的一些普遍性质：

<1> 电磁波是横波。电磁波振动的电矢量 $E$ 和磁矢量 $H$ 都与传播方向垂直。
<2> 电矢量 $E$ 和磁矢量 $H$ 相互垂直。
<3> 任何给定点上 $E$ 和 $H$ 都在作周期性变化，二者相位相同。
<4> 理论表明，$E$ 和 $H$ 的量值成比例
- \[\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon}E=\sqrt{ \mu_0 \mu}H\]
<5> 理论表明，电磁波的传播速度为：
- \[v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon \mu_0\mu}}\]
- 在真空中，$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}=3\times 10^8 m/s$
<6> $E$ 和 $H$ 的量级和电磁波频率的平方成正比。
<7> 电磁能量密度 $u=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 +\frac{1}{2}\mu_0 H^2$
<8> 电磁波强度=辐射功率/接收面积

电磁波的发射条件

LC 电路的频率必须特别高，且电路开放

定义单位时间通过垂直于传播方向的单位面积的能量为电磁波的能流密度，记为矢量 $S$ ，方向为电磁波传播的方向。

则：

\[ S=E\times H \]

对于简谐波，它在一个周期内的平均值，即平均能流密度为：

\[ \bar{S}=\frac{1}{2}E_0 H_0 \]

其中 $E_0, H_0$ 分别为 $E,H$ 的振幅。

求坡印廷矢量

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电磁学部分

稳恒电流¶

定义¶

电流密度与漂移速度的关系¶

电动势¶

稳恒磁场¶

磁感应强度¶

毕奥-萨伐尔定律¶

磁偶极子¶

运动电荷的磁场¶

磁场的高斯定理与安培环路定理¶

磁场对电流的作用¶

安培力¶

平行长直导线间的相互作用力¶

霍尔效应¶

磁场中的磁介质¶

相关概念¶

磁介质下的磁场定理¶

铁磁质 *¶

电磁感应¶

感生电动势¶

动生电动势¶

自感和互感¶

磁场能量¶

电磁场与电磁波¶