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光学部分

约 2611 个字 预计阅读时间 13 分钟

光的干涉

当光在介质经过路程 \(x\) 时，相位变化为：

\[ \Delta \phi = 2\pi \frac{x}{\lambda_n} = \frac{2\pi}{\lambda} nx = \frac{2\pi}{\lambda} \delta \]

其中 \(\delta = nx\) 称为光程，这是光的干涉基本模型中最基本的参数。

半波损失

当光从折射率较小的介质入射到折射率较大的介质并发生反射时，光程会减少 \(\lambda/2\) ，这种现象称为半波损失。

当两个光波发生干涉，有如下关系：

\[ \Delta \phi = (\phi_2 -\phi_1) +\frac{2\pi}{\lambda} \Delta \delta =\left \{\begin{array}l 2k\pi ,& \text{加强，k级明纹} \\ (2k-1)\pi, & \text{减弱，k级暗纹}\end{array}\right . \]

由于一般考虑初相位相同的相干光源，因此上述关系可以简化为如下结论：

\[ \Delta \delta = \left \{\begin{array}l k\lambda ,& \text{加强，k级明纹} \\ (k-\frac{1}{2})\lambda , & \text{减弱，k级暗纹}\end{array}\right . \]

Usefulmodelofganshe.png

牛顿环中心是暗环

\[\begin{array}c r_{k,明}=\sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda }{2}} \\ r_{k,暗}=\sqrt{kR\lambda}\end{array}\]

均厚薄膜干涉(等倾干涉)

dengqingganshetu1.png

dengqingganshetu2.png

如图 1 所示，将折射率为 \(n_2\) 的薄膜放置于折射率为 \(n_1\) 的介质中，无论二者折射率大小关系如何，两个反射表面中都会有一面发生半波损失，使得二者的光程差为：

\[\delta = 2e\sqrt{n_2^2 -n_1^2\sin ^2 i} +\frac{\lambda}{2} = \begin{cases}k\lambda, & \text{明纹}\\ (2k+1) \frac{\lambda}{2}, & \text{暗纹}\end{cases}\]

请注意与劈尖干涉(等厚干涉)作区分。

等倾干涉注意介质和薄膜折射率的关系: 并非都有半波损失

dengqinggansheliti.png

牛顿环例题: e为中间空气的距离

niudunhuanliti1.png

光的衍射

单缝衍射

平行光垂直入射单缝：

单缝衍射参数.png

中央明纹位于 \(\theta = 0\) 处，其光强最强，且宽度为其它明纹的两倍：

\[ l_0 = 2f \tan \theta _1 = 2f\sin \theta_1 =\frac{2\lambda f}{a} \]

danfengyansheguangqiangfenbu.png

若以白光入射，则白光中不同波长的光产生的衍射图样除中央明纹中心外，其他各级条纹将彼此错开，于是观察到衍射图样其中央明纹的中心部分是白色的，边缘伴有彩色；其他各级明纹是由紫到红的彩色条纹。

光栅衍射

大量等宽度等间距的平行狭缝构成的光学器件称为光栅。透射光栅的缝宽度 \(a\)，不透光部分宽为\(b\)，\(d=a+b\) 称为光栅常数。光栅狭缝数越多，衍射条纹就越细锐、明亮。

光栅图像是多个狭缝单缝衍射图像互相干涉形成的。对于任意一个狭缝入射的光，其形成的单缝衍射的图像是相同的（包括位置，中央明纹都位于透镜焦点上）。

满足光栅方程的明纹被称为主极大，其在任意相邻两缝发出的光束相位差为 \(2\pi\) 的整数倍时形成：

\[ (a+b)\sin \theta = \pm k\lambda,\ k=0,1,2,...,\lfloor \frac{d}{\lambda}\rfloor \]

因为 \(\sin \theta\) 的取值小于 1，因此整数 \(k\) 的取值有上界 \(k\lt \frac{d}{\lambda}\)

而如果 \(N\) 个缝的光束的振幅矢量在某点恰好首尾相接，形成 \(k'\) 个重合在一起的正多边形，那么其合成振幅为 0，相消形成暗条纹：

\[\begin{array}c (a+b)\sin \theta = \pm \frac{k'}{N} \lambda \\ k'\ne Nk, k' = 1,2,...,N-1,N+1,....,2N-1,2N+1,... \end{array} \]

\(k'=Nk\) 属于主极大的情况，因此 \(k'\) 不能是 \(N\) 的整数倍。

Note

相邻两主极大之间存在 \(N-1\) 条暗纹。而两暗纹之间应该为明纹，那么两主极大之间有 \(N-2\) 条明纹。但是计算表明，这些明纹的强度接近零，称为次级大。当光栅缝数 \(N\) 很大时，在两主极大之间实际上是一片暗区。

但是，如果光栅衍射出现主极大的位置恰为单缝衍射暗纹的位置，则该主极大就不会出现，这种现象称为缺级（多个暗纹叠加仍是暗纹）。

\[ \begin{cases}(a+b)\sin \theta = \pm k\lambda \\ a\sin \theta = \pm k'\lambda \end{cases} \Rightarrow k=\frac{a+b}{a}k' \]

重要例题：

用每毫米500条栅纹的光栅观察钠谱线 \(\lambda=590nm\), 光栅缝宽 \(a\) 和刻痕宽度 \(b\) 之比为 1:2.

①平行光垂直入射光栅时最高能看到第几级光谱线?观察屏上共有几条光谱线?

②平行光以30度斜入射时,最高能看到第几级光谱线?

解答

\[\begin{array}c d=a+b= \frac{1\times 10^{-3}}{500} =2\times 10^{-6} (m) \\ k_{max}=\frac{d}{\lambda} =3.39 \Rightarrow \text{最高能看见三级谱线} \\ \text{考虑缺级方程：}\ k=\frac{a+b}{a}k' = 3k' \\ \text{因此光谱第3等谱线缺级，屏上实际谱线为0,}\pm\text{1},\pm \text{2共五条} \end{array}\]

以三十度角斜入射，则要在第一问基础上额外考虑 \(\sin \frac{\pi}{6}\) 带来的影响：

\[\begin{array}c k_{max}=\frac{d}{\lambda}(\sin \frac{\pi}{6}+1)=5.08 \\ \text{最高能看见五级谱线} \end{array}\]

在波长 \(\lambda\) 附近，有两种单色光同时垂直照射光栅，它们的衍射条纹发生重叠。若两种光波长差为 \(d\lambda\) 时，光栅刚好能分辨出是两条谱线，则定义其第 \(k\) 级谱线的分辨本领 \(R\) 为：

\[ R=\frac{\lambda}{d\lambda}=kN \]

其中 \(N\) 为狭缝的总条数。

一块每毫米 500 条缝的光栅，用钠黄光照射，观察衍射光谱。已知钠黄光包含波长分别为 \(589.6nm\) 和 \(589.0nm\) 的两条谱线，求：

（1） 在第二级光谱中两条谱线相互分离的角度

（2） 若恰能分辨第二级光谱中的该两条谱线，求这块光栅的栅纹条数

\[\begin{array}c (1)\ d= \frac{10^{-3}} { 500} = 2\times 10^{-6}, \ \ d\sin\theta = k\lambda, \ \ k=2 \\ \Rightarrow \Delta \theta = \arcsin \frac{2\lambda_1}{d} - \arcsin \frac{2\lambda_2}{d} \\ (2) \ R=\frac{\lambda} {\Delta \lambda} = kN, \ N= \frac{\lambda}{k\Delta \lambda}= 491 条\end{array}\]

圆孔衍射

第一暗环的角位置 \(\theta_1\) 与圆孔直径 \(D\)、入射单色光波长 \(\lambda\) 有如下关系：

\[ \sin \theta_1= \frac{1.22\lambda}{D} = \theta_1 \]

yuankongyanshe.png

如果透镜 \(L_2\) 的焦距为 \(f\) ，则“爱里斑”的半径为：

\[ R=f\cdot \theta_1 =1.22 \frac{\lambda f}{D} \]

当 \(\theta <\theta_1\) 时，仪器或人就无法分辨两个点。通常将光学仪器最小分辨角的倒数称为该仪器的分辨本领：

\[ R=\frac{D}{1.22\lambda} \]

当 \(D\) 越小，"爱里斑"就越大，衍射效果越明显；但是分辨本领会变弱。

最小分辨角例题

zuixiaofenbianjiaoliti.png

X射线衍射

x射线衍射.png

I'm tired.

光的偏振

  • 线偏振光: 空间各点的光矢量均沿一个方向振动
    • \(I=I_0 \cos ^2 \theta\)
  • 自然光: 两个振动方向垂直、相位差随机、等振幅的线偏振光组合
    • \(I= \frac{I_0}{2}\)
  • 部分偏振光: 介于自然光和线偏振光之间，振动在各个方向上的振幅不同
    • \(I= I_{自}+ I_{线}\)

布儒斯特定律

光在某一表面发生反射和折射。当入射角等于布儒斯特角 \(i_0\) 时，反射光成为振动方向垂直于入射面的线偏振光，折射光成为最大偏振化程度的部分偏振光。

\[\begin{array}c\tan i_0 = \frac{n_2}{ n_1} \\ i_0 +r =90^。\end{array}\]

历年卷里有让求起偏角，也是求的布儒斯特角

burusitedingli.png

Example

burusitedinglvtimu.png

双折射

光线入射到各向异性晶体时会分裂成偏振方向近似相互垂直的两束光，分别为服从折射定律的寻常光(o光) 和不服从的非寻常光(e光)

所谓o光和e光，只在双折射晶体内才有意义

双折射晶体内存在一个特殊的方向，当光线在晶体内沿着这一方向传播时，不发生双折射现象，这一特殊的方向称为晶体的光轴。光轴仅代表方向，任何一条与上述光轴平行的直线都可以表示光轴。

在晶体中，任意光线和光轴组成的平面称为该光线的主平面。实验表明，o光的振动方向垂直于o光的主平面；e光的振动方向平行于e光的主平面。

一般情况下，o光和e光的主平面并不重合，但对大多数晶体而言二者夹角相差不大。当光轴与入射面平行时(即入射面和主截面重合)，o光和e光的主平面都与主截面重合，则二者振动方向垂直。

光在各向异性晶体中传播速度与光矢量振动方向和光轴的位置有关：

  • 若振动方向与光轴垂直，传播速度为正常值，对应折射率为 \(n_o\)
  • 若振动方向与光轴平行，传播速度达到最值，对应折射率为 \(n_e\) (主折射率)
  • 若介于两者之间，则折射率也介于 \(n_o, n_e\) 之间

正晶体 \(n_o \lt n_e\)，负晶体 \(n_o \gt n_e\)，我们主要考虑负晶体

厚度均匀、两个晶面与光轴互相平行的晶片可用来制作波片。

bopianyuanli.png

如上图所示，一束波长为 \(\lambda\) 的线偏振光垂直入射厚度为 \(d\) 的晶片。入射光的振幅为 \(A\)，光振动方向和晶片光轴夹角为 \(\theta\) 。此线偏振光进入晶片后生成o光和e光，o光振动垂直于光轴，e光振动平行于光轴，它们的振幅分别为：

\[ \begin{cases} A_0 = A\sin \theta \\ A_e = A\cos \theta \end{cases} \]

由于是垂直入射，o光和e光沿同一方向前进，但传播速度不同，二者的光程差为 \(\delta =(n_o -n_e)d\) ，对应的相位差为：

\[ \Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} (n_o-n _e)d \]

这样两束相位差恒定、振动方向垂直的光互相叠加，一般形成椭圆偏振光。

  • 四分之一波片 \(d=\frac{\lambda}{ 4|n_o- n_e|}\)
    • 使 \(\theta = 45^。\)，将得到圆偏振光
  • 二分之一波片 \(d=\frac{\lambda}{2|n_o - n_e|}\)
    • 线偏振光通过二分之一波片后仍为线偏振光，但其振动面旋转了 \(2\theta\)

这不是我们李萨如图形吗

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