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量子部分

约 2398 个字 预计阅读时间 12 分钟

量子光学基础

黑体辐射

任何一个物体，在任何温度下都要向外辐射各种不同波长的电磁波，而且辐射出的总能量以及能量按波长的分布情况都与该物体的温度有关，这种辐射称为热辐射。

如果在单位时间内，从物体表面单位面积上所辐射的、波长在 \(\lambda \sim \lambda+\Delta \lambda\) 范围内的辐射能为 \(dE_{\lambda}\)，那么辐射能与波长间隔的比值称为单色辐出度：

\[ M_\lambda (T)= \frac{dE_\lambda}{d\lambda} \]

\(M_\lambda\) 是关于物体温度 \(T\) 和所取定波长 \(\lambda\) 的函数，反映了在不同温度下辐射按波长的分布情况。

辐射出射度定义为单位时间、单位表面积上发射全波长范围内的辐射能:

\[ M(T)=\int_0 ^{+\infty} M_\lambda (T)d\lambda \]

定义一个物体在温度 \(T\) ，波长范围为 \(\lambda\sim \lambda +\Delta \lambda\) 时，吸收的电磁波能量与入射能量的比值为单色吸收系数，记为 \(\alpha (\lambda, T)\)；反射的电磁波能量与入射能量的比值为单色反射系数，记为\(\gamma (\lambda, T)\)。

对于不透明的物体，由于不存在透射过去的能量，有等式：

\[ \alpha (\lambda ,T) + \gamma (\lambda, T)=1 \]

实验表明，不同物体对入射电磁波具有不同吸收和反射本领。如果一个物体在任何温度下，对于任何波长的电磁辐射都全部吸收，即 \(\alpha (\lambda, T)=1\)，称该物体为绝对黑体。

若以 \(M_{0, \lambda}(T)\) 表示黑体的单色辐出度，则根据基尔霍夫定理，任何物体的单色辐出度和单色吸收系数的比值都满足：

\[ \frac{M_\lambda (T)}{\alpha (\lambda, T)} = M_{0,\lambda} (T) \]

斯特藩-玻尔兹曼定理指出，黑体的辐射出射度与黑体温度的四次方呈正比：

\[ M_0(T)= \int _0^{+\infty} M_{0,\lambda} (T)d\lambda = \sigma T^4 \]

其中斯特藩-玻尔兹曼常量 \(\sigma =5.67\times 10^{-8} W / (m^2\cdot K^4)\)

维恩位移定律指出，对于黑体单色辐出度曲线，其峰值波长 \(\lambda _m\) 和对应温度 \(T\) 成反比：

\[ T\lambda _m = b=2.898\times 10^{-3} m\cdot K \]

weienweiyidinglv.png

光电效应

电磁辐射在空间中传播是离散的、量子化的，称为光子。

  • 能量：\(E=hv\)
  • 质量：\(m=\frac{hv}{c^2} = \frac{h}{c\lambda}\)
  • 动量：\(p=\frac{hv}{c} =\frac{h}{\lambda}\)

当光射在金属表面时，在一定条件下，有电子从金属表面逸出的现象称为光电效应，所逸出的电子称为光电子。

一个电子获得一个光子的能量，首先用于克服表面阻力所需的逸出功 \(A\)，剩余的能量作为电子的最大初动能\(E_{km}\)：

\[ hv -A=E_{km}= \frac{1}{2}mv_m^2 \]

当我们增加的反向遏止电压\(U_a\)恰好等于电子的最大初动能时，光电流为 0，即：

\[ E_{km} =e|U_a| \]

当光频率小于截止频率(红限频率)\(v_0\) 时，电子获得能量小于逸出功，从而不产生光电流：

\[ hv_0 = A \]

随着电压增大，光电流增大至饱和值，该值与激发的光电子数量有关（等于光子数量），其中光子数量 \(n\) 与光强 \(I\) 的关系为：

\[ I=nhv \]

康普顿效应

单色 X 射线投射到石墨晶体及其它材料上时，散射光线除了有与入射波长 \(\lambda_0\) 相同的成分外，还含有波长大于 \(\lambda_0\) 的部分，且波长的变化 \(\Delta \lambda =\lambda -\lambda_0\) 随散射角 \(\phi\) 的增大而增大，与 \(\lambda_0\) 和物质无关。

其原因是入射光子和电子发生弹性碰撞，光子部分能量转换为电子动能，从而导致波长增加：

\[\begin{array}l \text{能量守恒： }hv_0 +m_e c^2=hv + mc^2 \\ \text{动量守恒： } \begin{cases} \frac{hv_0}{c} = \frac{hv}{c}\cos \phi +mv\cos \theta \\ 0= \frac{hv}{c}\sin \phi - mv \sin \theta \end{cases} \end{array} \]

其中 \(m_e\) 为电子(静止)质量，\(m\) 为电子相对论质量。

guangziyudianzidpengzhuang.png

对以上三个方程消去 \(v\) 和 \(\theta\) ，可得到散射线波长变化与散射角 \(\phi\) 的关系：

\[ \Delta \lambda =\lambda -\lambda_0 = \frac{2h}{m_ec} \sin ^2 \frac{\phi}{2} = \frac{h}{m_ec} (1-\cos \phi) \]

其中 \(\lambda_c = \frac{h}{m_ec}=0.00243nm = 2.43\times 10^{-12}m\) 称为康普顿波长。

量子力学简介

德布罗意波

实物粒子同样具有波粒二象性，其波长 \(\lambda\) 由动量确定，频率 \(v\) 由能量确定：

\[ p=mv=\frac{h}{\lambda}, \ \ E=mc^2 = hv \]

若忽略相对论效应，电子动能同样为 \(E_k= \frac{p^2}{2m}\)，则 \(\lambda =\frac{h}{p}= \frac{h}{\sqrt{2mE_k}}\)

不过光子的动能就是其总能量，即 \(E_k=mc^2 =hv\)。

不确定性理论

微观粒子的(位置和动量)/(处于某个状态的时间与能量)不可能同时准确测定。

\[\begin{array}l \text{动量和位置的不确定性关系： }\Delta x\Delta p_x \ge \frac{h}{4\pi} \\ \text{能量和时间的不确定性关系： }\Delta E\Delta t \ge \frac{h}{4\pi} \end{array}\]

在不确定性理论相关的题目中，我们还常常需要计算通过某种函数关系得到的间接测量量的不确定度。一般可以分为和差形式的函数和积商形式的函数两种情况：

\[\begin{array}l \text{和差形式： } \Delta y=\sqrt{\sum (\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x)^2} \\ \text{积商形式：}\frac{\Delta y}{y} = \sqrt{\sum (\frac{\partial \ln f}{\partial x_i}\Delta x)^2} \end{array} \]

不确定度间接测量实例

若 \(y=k / x\) ，则 \(\Delta y= k\Delta x / x^2\)

波函数

波函数 \(\Psi (x,y,z,t)\) 是时间与空间的函数，表现了粒子的运动状态。

定态波函数

若粒子运动状态不随时间变化，则可以定态为 \(\psi (x,y,z)\)

在物理意义上，波函数模长的平方 \(|\Psi (x,y,z,t)|^2=\Psi * \Psi\) 代表粒子在某一时间在一固定点出现的的概率密度。

  • <1> \(\Psi(x,y,z,t)\) 是单值函数
  • <2> \(\Psi(x,y,z,t)\) 是连续函数
  • <3> \(\Psi(x,y,z,t)\) 是有限函数
  • <4> \(\iiint _v \Psi * \Psi dV=1\) ，即粒子在全空间出现的概率为 1。

一维无限深势阱指的是粒子在某一区间内势能为 0，其余区间势能为无限大，则根据薛定谔方程，粒子只能在该区间出现。

波函数题目做题的套路一般为：

  • <1> 令 \(\int_{-\infty}^{+\infty} \psi^2(x)dx = 1\) ，解得归一化常数 \(A\)
  • <2> 带入常数得到波函数，进而得到概率密度函数 \(f(x) =\psi^2(x)\)
  • <3> 利用概率密度函数计算最大概率密度位置、区间 \((a,b)\) 上出现的概率等

计算器可以求定积分!?不太会，浇浇窝...

氢原子和氢原子结构初步

玻尔氢原子理论

玻尔理论概述

玻尔理论建立在经典理论的基础上，但他加入了一些量子化的假设：

  • <1> 定态假设： 电子围绕原子核作圆周运动时，只能处在一些分立的稳定状态，简称定态。
    • 当电子处在这些分立轨道上时，电子虽然作加速运动，但不辐射能量，故原子具有稳定的能量，这些能量取量子化的不连续值称为能级： \(E=E(n)\)
  • <2> 跃迁假设： 原子从一个定态到另一个定态称为跃迁，跃迁过程会吸收或发射光子
    • 光子频率由 \(hv=E_n -E_k\) 决定
  • <3> 量子化条件： 假设在定态时，电子的轨道角动量也是量子化的，只能取约化普朗克常量 \(\bar{h}\) 的整数倍
    • \(L=n\bar{h} =nh / 2\pi\)

氢原子轨道半径是量子化的：

\[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r ^2} =m \frac{v^2}{r} \to r_n =n^2 \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi me^2} \]

其中 \(r_1\) 称为玻尔半径 \(a_0\)，从而 \(r_n =n^2 a_0\)

氢原子能量是量子化的：

\[ E_n = - \frac{1}{n^2} \left(\frac{me^4}{8\varepsilon_0 ^2 h^2}\right) \]

其中 \(E_1=-13.6eV\) 称为基态能级，\(E_n = E_1/n^2\)

已知玻尔半径 \(a_0\)，计算氢原子电子沿第n玻尔轨道运动时，其德布罗意波长大小

别用 \(\frac{mv^2}{r}= \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}\)，直接用角动量 \(L=mvr_n = \frac{nh}{2\pi}\) 求解。已知 \(r_n = n^2a_0\)，易求得 \(\lambda = 2\pi na\)

氢原子光谱

根据玻尔理论，氢原子发生定态跃迁时会发射或吸收一个光子，其波长为：

\[ \frac{hc}{\lambda} =E_i -E_f ,\text{或}\ \frac{1}{\lambda} =R( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}) \]

\(R=-\frac{E_1}{hc}\) 称为里德伯常数，考试中会给出(会的吧!?)

氢原子光谱图.png

可见光波长范围 400 nm ~ 760 nm，位于向巴尔默系跃迁释放的光范围之中

量子力学氢原子理论

qingyuanzililunliangzishu.png

  • \(|\psi_{n,l, m_l}(r,\theta,\phi)|^2\) 代表电子出现在极坐标 \((r,\theta, \phi)\) 处的概率密度
  • 径向概率密度 \(r^2 |R_{n,l} (r)|^2\) 代表电子出现在 \(r\) 处的概率密度(注意要乘 \(r^2\))
  • 历年卷里出现过的自旋量子数 \(m_s\)，只能取值 ±\(\frac{1}{2}\)
  • 在玻尔氢原子理论中，电子轨道角动量最小值为 \(\frac{h}{2\pi}\)；而在量子力学理论中，电子轨道角动量最小值为 \(\sqrt{l(l+1)} h/2\pi|_{l=0} = 0\)

Example

量子力学氢原子理论例题1.png

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