多元函数微分¶

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点和点集的关系¶

开集：平面点集 \(E\) 中每个点都是 \(E\) 的内点，即 \(int\ E\ =\ E\)，则称 \(E\) 为开集
闭集：平面点集 \(E\) 的余集 \(R^2-E\) 为开集，则称 \(E\) 为闭集
若 \(E\) 中任意两点之间都可以用一条完全含于 \(E\) 的有限条折线相连接，则称 \(E\) 具有连通性
若 \(E\) 既为开集又有连通性，则称 \(E\) 为开区域
开区域连同其边界构成的点集称为闭区域

常见的开集、闭集

累次极限和二重极限的存在关系¶

验证可微与不可微¶

Example

连续不一定可微的例子¶

以及 \(f(x,y)=\sqrt{x^2 +y^2}\) 在 \((0,0)\) 处连续，但偏导不存在，所以也不可微。

可微但是一阶偏导不连续¶

\(f(x,y)=(x^2 +y^2)sin\frac{1}{( x^2+ y^2)}\) 在 \((0,0)\) 处可微，但是一阶偏导不连续。

Info

因此，如果一阶偏导连续，那么可以推出可微；反过来则不一定

隐函数的偏导数¶

没啥用，不如一阶微分形式不变性：

\(F(x,y,z)=0\ \Rightarrow \ F'_xdx +F'_ydy +F'_zdz =0\)，由此可以求得 \(z\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导

梯度定义以及方向导数求解步骤¶

梯度定义
- \(grad\ u\) = \(\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})\)
- \(grad\ (u,v)=ugrad\ v+vgrad\ u\)
- \(grad\ f(u)=f'(u)grad\ u\)

此定理使用的先导条件是函数可微

如何利用定理计算方向导数？

函数\(f(x,y)\ =\ \frac{xy}{\sqrt{x^2 +y^2}}\ (x,y)\ne (0,0)\) 在 \((0,0)\) 不可微，但是方向导数存在:

设任意方向 \(\overrightarrow{v}=(\cos \alpha ,\cos \beta)\)

则方向导数为 \(\lim _{t\rightarrow 0^+}\frac{f(t\cos \alpha,t\cos \beta)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow o^+}\frac{t ^2\cos \alpha \cos \beta}{t ^2} =\cos \alpha \cos \beta\)