积分¶

如何解常微分方程？¶

已知 \(f(x)=f'(x)-2x\)，求 \(f(x)\)

积分区域为正方形也可以用极坐标¶

\(D_2=\{(x,y)|1\le x^2 +y^2,|x|+|y|\le 2\}\) ，求二重积分 \(\iint_ {D_2} \frac{1}{(x^2 +y^2 )^\frac{3}{2} }dxdy\)

【解答】 原式=

三重积分柱面坐标变换¶

• \(x=rcos\theta,y=rsin\theta,z=z\ \Rightarrow \ 柱面坐标(r,\theta,z)\)
• \(\Delta V =S_{扇形}\Delta z = r\Delta \theta \Delta r\Delta z\)

三重积分球面坐标变换¶

规定如下：

• \(\rho\)：原点到M点的距离 \(0\le \rho \le +\infty\)
• \(\phi\)：矢量 \(\overrightarrow{OM}\) 与Oz轴正向的夹角 纬度 \(0\le \phi \le \pi\)
• \(\theta\)：矢量 \(\overrightarrow{OM}\) 在xOy平面上的向量与x轴的夹角 经度 \(0\le \theta \le 2\pi\)

根据三重积分的一般曲面坐标变换：

所以 \(\Delta V=\rho ^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta\)

积分的时候注意等价量，可以大大减少运算量¶

第一类曲线积分¶

平面极坐标方程¶

第一类曲面积分¶

• 若曲面由隐函数 \(F(x,y,z)=0\) 确定，由于
  • \(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z}\)
  • \(\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}\)
• 得到：

引力¶

也可以利用积分的物理意义解题¶

如何区分第一第二类积分¶

被积元素为向量则是第二类曲线积分，不是就是第一类

格林公式¶

边界曲线 \(\Gamma\) 正向规定：当人沿边界行走时，区域 \(D\) 总在他左边。与上述方向相反，则称为负方向，记为 \(-\Gamma\)

若函数 \(P、Q\) 在闭区域 \(D\subset R^2\) 上连续且具有连续一阶偏导数，则

这里 \(\Gamma\) 为区域D的边界曲线，并取正向。

平面连通区域 & 路径无关性¶

平面区域 \(D\) 内任一封闭曲线所包围的区域包含于 \(D\) 内，即没有洞的区域称为单连通区域，否则称为复连通区域。

设 \(D\subset R^2\) 是单连通区域，若函数 \(P、Q\) 在 \(D\) 内连续，且有一阶连续偏导数 (可微的充分条件) ，则以下四个条件等价：

• 沿 \(D\) 中任意光滑的闭曲线 \(L\)，有 \(\oint_LPdx+Qdy=0\)
• 对 \(D\) 中任意光滑的曲线 \(L\)，曲线积分 \(\int_L Pdx+Qdy\) 与路线无关，只与 \(L\) 的终点起点有关
• \(Pdx+Qdy\) 是某个函数 \(u\) 的全微分，即在 \(D\) 内存在一个二元函数 \(u\)，使得 \(du=Pdx+Qdy\)
• 在 \(D\) 内每一点处，有 \(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\)

曲线积分第一定理¶

设 \(D\subset R^2\) 是闭区域，若函数 \(P(x,y),Q(x,y)\) 在 \(D\) 内连续，假设曲线积分 \(\int_LPdx+Qdy\) 与路径无关，取一定点 \(A(x_0, y_0)\in D\) ，对于任意点 \(B(x, y)\in D\) ，称：

\(u(x,y)=\int^{B(x,y)}_{A(x _0,y _0)}Pdx+Qdy =\int^x_{x _0}P(x,y _0)dx+ \int^y_{y _0}Q(x,y)dy+C\) 是\(Pdx+Qdy\)的一个原函数 (也称势函数) ，且 \(du=Pdx+Qdy\ \ \ grad(u)=(P,Q)\)，称 \(\nabla u=(P,Q)\) 为保守场或梯度场。

有时候可以直接用全微分解¶

利用曲线积分和路径相关性可以求解微分方程¶

定理10.4¶

在复连通区域 \(D\) 内，\(P,Q\) 具有连续的偏导数且 \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) ，则环绕同一些洞的任何两条闭曲线(同方向)上的曲线积分均相等。

高斯公式¶

设空间区域 \(V\) 由分片光滑的双侧封闭曲线 \(S\) 围成，若函数 \(P,Q,R\) 在 \(V\) 上连续，且有一阶连续偏导数，则：

其中 \(S\) 取外侧，且由于 Latex 语法问题，上述二重积分应为封闭的。

散度场¶

设 \(\overrightarrow{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\) 为空间区域 \(V\) 上的向量函数，对 \(V\) 上每一点 \((x,y,z)\)，称向量函数 \(\frac{\partial P}{\partial{x}}+\frac{\partial Q}{\partial{y}}+\frac{\partial R}{\partial{z}}\) 为向量函数 \(\overrightarrow{A}\) 在 \((x,y,z)\) 处的散度，记作\(div\ \overrightarrow{A}(x,y,z)\)

则高斯公式可以写成如下：

散度场的物理意义¶

当流速为 \(\overrightarrow{A}\) 的不可压缩流体，经过封闭曲线S的流量是 \(\iint_S\overrightarrow{A}\overrightarrow{dS}\)，则 \(div\ \overrightarrow{A}(M_0)\) 是流量对体积的变化率，并称它为 \(\overrightarrow{A}\) 在 \(M_0\) 点的流量密度

• 若 \(div\ \overrightarrow{A}(M_0)\gt 0\) ，说明在每一单位时间内都有一定数量流体流出这一点，则称这点为源
• 若 \(div\ \overrightarrow{A}(M_0)\lt 0\) ，说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇
• 若在向量场 \(\overrightarrow{A}\) 中每一点都有 \(div\ \overrightarrow{A}(M_0)= 0\) ，则称 \(\overrightarrow{A}\) 为无源场

推论¶

如果仅在区域 \(V\) 中某些点(或子区域)上，\(div\ \overrightarrow{A}\ne 0\) 或不存在，其它的点都有 \(div\ \overrightarrow{A}= 0\) ，则通过包围这些点或子区域(称为洞)的 \(V\) 内任一封闭曲面积分(物理意义流量)都是相等的，即是一个常数。

曲面变换下的第二类曲面积分计算¶

斯托克斯公式¶

其中，\(L\) 与 \(S\) 依靠右手定则确定正向。

• 由于斯托克斯公式变换而来的第二类曲面积分不一定是封闭的，更多时候需要我们运用定义去算积分
  • 具体而言就是将 \(\overrightarrow{dS}\) 变成 \((\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)dS\) ，其中三角函数来源于曲面的法向量(方向由右手定则确定)

空间曲线积分的路径无关性¶

设 \(\Omega \in R^3\) 为空间线单连通区域，若函数P,Q,R在 \(\Omega\) 上连续，且有一阶连续偏导数，则下列条件等价：

• 不想写了，Goodbye，祝你考个好成绩!

旋度场¶

设 \(\overrightarrow{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\) ，定义向量函数 \(\overrightarrow{A}\) 在 \((x,y,z)\) 处的旋度为:

【定义环量密度】

即，矢量场 \(\overrightarrow{A}(M)\) 在点 \(M\) 处的环量密度公式为：

按定义求第二类曲面积分¶