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Transformation

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Graphics' Dependencies

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图形学中，给出一个向量，默认是列向量。

2D Transformations

Scale 缩放

将向量 x 轴方向缩放 \(s_x\) 倍，y 轴方向缩放 \(s_y\) 倍：

\[ \left[\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}s_x & 0\\ 0 & s_y\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} s_xx \\ s_yy \end{matrix} \right] \]

Shear 切变

shearexample.png

竖直方向位移为 0，水平方向位移与 y 坐标呈 \(ay\) 关系：

\[ \left[\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}1 & a\\ 0 & 1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} x+ay \\ y \end{matrix} \right] \]

Rotate 旋转

rotateexample.png

\[ \left[\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{matrix} \right] \]

Inverse 逆变换

inverseexample.png

旋转矩阵的逆等于旋转矩阵的转置，即正交矩阵

\[\begin{array}c R_\theta = \left[\begin{matrix}\cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix}\right] \\ R_{-\theta} = \left[\begin{matrix}\cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix}\right] = R_\theta^T \\ \text{By Definition: } R_\theta^{-1} = R_{-\theta} = R_\theta ^T\end{array}\]

Homogeneous coordinates

Translation 平移

对于平移操作，我们不能简单使用矩阵乘法表示该变换，这也是为什么我们需要引入齐次坐标变换。

translationexample.png

\[ \left[\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}a & b\\ c & d \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix} t_x \\ t_y\end{matrix} \right] \]

齐次坐标通过增加一维坐标来表示平移变换。

  • 2D point ：\((x,y,1)^T\)
  • 2D vector：\((x,y,0)^T\)

在齐次坐标系中，\((x,y,\omega)^T\) 表示一个 2D point \((\frac{x}{\omega}, \frac{y}{\omega},1)^T\) ，其中 \(\omega \ne 0\)

正确性

  • vector + vector = vector
  • point - point = vector
  • point - vector = point

那么平移可表示为：

\[ \left[\begin{matrix} x' \\ y' \\\omega'\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}1 & 0& t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} x+t_x \\ y+t_y \\ 1\end{matrix} \right] \]

Affine Transformations 仿射变换

重新看待下列二维变换+平移：

\[ \left[\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}a & b\\ c & d \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] + \left[\begin{matrix} t_x \\ t_y\end{matrix} \right] \]

在齐次坐标下，上式表示为：

\[ \left[\begin{matrix} x' \\ y' \\\omega'\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix}a & b& t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right] \]

先线性变换，再平移！！！

相应的，用齐次坐标分别表示缩放、旋转的矩阵：

Scale：

\[ S(s_x, s_y)=\left[\begin{matrix}s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \]

Rotate：

\[ R(\alpha) = \left[\begin{matrix}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \]

Translation：

\[ T(t_x, t_y) =\left[\begin{matrix}1 & 0& t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \]

Composing Transforms

矩阵乘法不满足交换律

composingtransformationsexample.png

有时候旋转操作很难把握，可以先把点移动回原点，进行旋转后再移动回去：

decomposingcomplextransforms.png

3D Transformations

Use homogeneous coordinates again:

  • 3D point = \((x,y,z,1)^T\)
  • 3D vector = \((x,y,z,0)^T\)

同样，在 \(\omega \ne 0\) 的情况下，\((x,y,z,\omega)^T\) 表示一个三维点 \((\frac{x}{\omega},\frac{y}{\omega},\frac{z}{\omega},1)^T\)

那么，三维空间的仿射变换如下：

\[ \left[\begin{matrix}x' \\ y' \\ z' \\ 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}a & b& c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_x \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}x \\ y \\ z \\ 1\end{matrix}\right] \]

Scale：

\[ S(s_x, s_y, s_z)=\left[\begin{matrix}s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \]

Translation：

\[ T(t_x, t_y, t_z) =\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \]

Rotate：

\[\begin{array}c R_x(\alpha) = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \\ R_y(\alpha) = \left[\begin{matrix}\cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0\\0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \\ R_z(\alpha) = \left[\begin{matrix}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \end{array}\]

需要注意绕y轴的旋转矩阵 \(\sin\) 的正负性不一样

任意三维旋转可表示为组合矩阵：

\[ R_{xyz}(\alpha, \beta, \gamma) = R_x(\alpha) R_y(\beta) R_z(\gamma) \]

另有 Rodrigues' Rotate Formula，可用来计算绕任意轴 \(n\) 旋转角度 \(\alpha\)：

\[ R(n,\alpha) = \cos (\alpha) I + (1-\cos(\alpha))nn^T + \sin(\alpha) \left[\begin{matrix}0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0\end{matrix}\right] \]

使用时通常先把轴平移至原点，旋转完后再平移回去。

Viewing Transformation

View/Camera Transformation

把三维空间的物体，变成二维空间的图。

定义一个摄像机，需要三个向量：

  • Position \(\overrightarrow{e}\)
  • Look-at/gaze direction \(\hat{g}\)
  • Up direction \(\hat{t}\)

为了简化操作，我们可以定义相机放置于原点 \(\overrightarrow{e}=(0,0,0)^T\) ，向上方向沿 y 轴 \(\hat{t}=(0,1,0)^T\)，视角方向沿 -Z 轴看 \(\hat{g}=(0,0,-1)^T\)

那么，将相机移动至指定位置的矩阵记为 \(M_{view}\)：

\[\begin{array}c M_{view} = R_{view} T_{view} \\ T_{view} = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \\ R_{view} = \left[\begin{matrix}x_{\hat{g}\times\hat{t}} & y_{\hat{g}\times\hat{t}} & z_{\hat{g}\times\hat{t}} & 0 \\ x_t & y_t & z_t & 0 \\ x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] \end{array}\]

Object 也要和 Camera 一起旋转，保证相对位置不变

Projection Transformation

投影分为两种：

  • Orthographic projection 正交投影
  • Perspective projection 透视投影

porjectiontransformationtouying.png

差别在于是否有近大远小的性质。

PTExample2.png

Orthographic Projection

  • <1> Center cuboid by translating
  • <2> Scale into "canonical" cube (\([-1,1]^3\))

Orthographicprojectione1.png

右手系

课程用的是右手系，相机沿 -Z 方向观察，所以 z 值越大就越近；不过一些API（例如 OpenGL）用的是左手系，正好相反。

Perspective Projection

  • Most common in Computer Graphics, art, visual system
  • Further objects are smaller
  • Parallel lines not parallel; converge to single point

透视投影可以看作先把原平面按比例挤压成近平面的大小，再对该区域进行正交投影。

nsppex1.png

我们需要考虑远平面和近平面之间的点 \((x,y,z,1)^T\) 的压缩。

假设远平面距离相机的 z 轴距离为 \(f\) ，近平面距离相机的 z 轴距离为 \(n\) ，根据相似三角形，可以得到 \(x,y\) 的压缩比例为 \(\frac{n}{z}\) ，那么压缩矩阵实现的效果为：

\[ \left[\begin{matrix}x \\ y \\ z\\ 1\end{matrix}\right] \Rightarrow \left[\begin{matrix} nx/z \\ ny/z \\ ?\\ 1\end{matrix}\right]==\left[\begin{matrix}nx \\ ny \\ z\cdot ?\\ z\end{matrix}\right] \]

因此我们已经可以推导出压缩矩阵的第一、二、四行，表示为：

\[ M_{persp->ortho}=\left[\begin{matrix}n & 0 & 0 & 0 \\ 0& n & 0 & 0 \\ ? & ? &? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right] \]

关于第三行的推导，可代入两个不会被压缩改变的特殊点：

  • 位于近平面的点 \((x,y,n,1)^T\)
  • 位于远平面中心的点 \((0,0,f,1)^T\)

并且由于 \(n^2\) 与内部点的 \(x,y\) 坐标没有关系，可以判断出第三行前两位均为 0，那么：

\[\begin{array}c \left[\begin{matrix}x \\ y \\ n \\ 1\end{matrix}\right] \Rightarrow\left[\begin{matrix}nx \\ ny \\ n^2 \\ n\end{matrix}\right]\\ \Rightarrow \left[\begin{matrix}0 & 0 & A & B\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y \\ n \\ 1\end{matrix}\right] = n^2 \\ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\cdot A +B = n^2 \\ \text{Samely: } f\cdot A+B = f^2 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}l A=n+f \\ B=-nf\end{array}\right . \end{array} \]

即：

\[\begin{array}c M_{persp->ortho}=\left[\begin{matrix}n & 0 & 0 & 0 \\ 0& n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{matrix}\right] \\ M_{persp} = M_{orhto} M_{persp->ortho} \end{array} \]

对于内部的点：

\[ z' = n+f - \frac{nf}{z} >z \]

因此内部的点会被推向远平面。

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