Fluid¶
约 541 个字 预计阅读时间 3 分钟
Height Field Model¶
以二维平面为例，我们构造一个高度场，来模拟水波的起伏：
由于一个 x 只能对应一个 y，因此这实际上叫 1.5D
因此，我们只需要负责更新高度 \(h(x)\) 和速度 \(u(x)\) 即可。
\[ \frac{dh(x)}{dt}+ \frac{d(h(x)u(x))}{dx} = 0 \Leftrightarrow \frac{dh(x)}{dt}+ h(x)\frac{du(x)}{dx} = 0 \]
其中 \(d(h(x)u(x))\) 表示在 \(dx\) 范围内，单位时间水量的变化。利用积分的链式法则拆开，并且忽略掉很小的 \(u(x)\frac{dh(x)}{dx}\) 后得到后一个简化版等式。
\[ \frac{du(x)}{dt}=-\frac{1}{\rho} \frac{dP(x)}{dx} \]
其中 \(\rho\) 是密度，\(P\) 是压强。此处忽略了外力等因素，我们在 lab4 中使用压强来模拟水的效果。
对于二阶导数，我们的求法是进行泰勒展开得到近似值：
\[\begin{array}l f(t_0 +\Delta t) = f(t_0) + \Delta t \frac{df(t_0)}{dt} + \frac{\Delta t^2 }{2} \frac{d^2f(t_0)}{dt ^2} +... \\ f(t_0 -\Delta t) = f(t_0) - \Delta t \frac{df(t_0)}{dt} + \frac{\Delta t^2 }{2} \frac{d^2f(t_0)}{dt ^2} +... \end{array}\]
所以：
\[ \frac{d^2h(t)}{d t^2} = \frac{h(t_0+\Delta t) + h(t_0-\Delta t)- 2h(t_0)}{\Delta t^2} \]
最终得到如下更新方程：
仅仅是这样，无法满足总水量是不变的条件，即 \(\sum h = V\) ，有两种对应解决方法：
在 lab4 中，我们采用 Solution 2 的形式，将 \(\frac{\Delta t^2 Hg}{\Delta x^2 \rho}\) 记为常数 \(\alpha\)（\(P=hg\)），并为 \(h_i( t_0) - h_i( t_0 -\Delta t)\) 乘上粘滞常数 Viscosity \(\beta\)：
\[ h_i (t_0+ \Delta t) = h_i( t_0) +\beta (h_i( t_0) - h_i( t_0 -\Delta t)) + \alpha (h_{i+1} (t_0) + h_{i-1} (t_0) - 2h_i (t_0)) \]
Boundary Condtion
遇到边界怎么处理？
- <1> 认为边界外 \(h\) 为常数
- <2> 认为边界外的 \(h\) 与等于边界上的值，如 \(h_{i+1} = h_i\)
接下来开始考虑刚体排水导致的高度变化这个问题。我们为排水处设置一个虚拟高度，来模拟排水造成的水波，有公式：
总之，最后解出 \(v\)，再根据 \(v\) 来更新高度，流程如下：
