Surface¶

Smooth & Discrete Surface¶

Theoretical Definition¶

简单来说，我们可以认为曲面是一个二维平面通过一个可微映射 \(f\) 嵌入到三维空间的结果：

当 \(Df\) 不满秩的时候会出现曲面退化的情况，因此我们要求曲面的 Jacobian 矩阵必须满足满秩的条件。

就和曲线一样，我们同样认为曲面也是一个具有特定属性的点集合，而不仅仅是一个 function。

我们认为曲面本身是一个三维空间中的对象，但是在曲面上的每一点的局部上仍然可以看作是一个二维的平面。这个平面被称为切空间(tangent space)。

我们可以从曲线的角度来理解切空间。对于曲面上经过 \(\mathbf{p}\) 点的曲线 \(\gamma\)，我们定义 \(\mathbf{p}\) 点的切空间为满足 \(\gamma(0)=\mathbf{p}\) 的所有曲线在该处切向量的集合。

而如果从微分的角度来看，切空间可以认为是局部参数化的对象。实际上，这两种定义都是等价的。

Discrete Representations¶

计算机中表示曲面最常用的方法是三角形网格，即使用三角形来近似局部的曲面：

我们可以把网格上任意顶点相连的边的数量称为顶点的 valence 或者 degree，利用这个概念就可以描述网格的一些拓扑性质。

Euler Characteristic \(\chi\) 是网格重要的拓扑性质，根据欧拉公式，我们有：

其中 \(g\) 称为网格的亏格（genus），它可以理解为曲面上的孔洞数，例如一个咖啡杯的亏格 \(g=1\)，即它的杯把手处。上式说明对于任意形式的曲面，只要它们具有相同的亏格数，网格的顶点数、边数以及面数一定满足欧拉公式。

注意到没有边界的三角形网格，每条边都对应两个面，每个面对应三条边，我们可以得到面和边数量上的关系：

我们将其代入欧拉公式：

相比于边数，大多数情况下网格的 \(\chi\) 都非常小，因此我们可以近似得到 \(F \approx 2V\)（等价于 \(E\approx 3V\)）。

Data Structure¶

Triangle Soup

最直观的表示方式是直接记录 Mesh 中每个 Face 的顶点坐标，形式如下：

1
2
3

x1, y1, z1 / x2, y2, z2 / x3, y3, z3 
x1, y1, z1 / x2, y2, z2 / x3, y3, z3
...

这在早期的一些图像库，例如 OpenGL 中有所使用，但是这样又浪费空间又无法轻易从中获得曲面拓扑性质，因此几乎不会在几何处理中使用。

Shared Vertex Structure

另一种常见方式分别记录顶点的坐标和每个 Face 的顶点编号，从而避免了顶点坐标的反复记录：

1
2
3
4
5
6

v 0.2 1.5 3.2
v 5.2 4.1 8.9
...
f 1 5 3
f 5 1 2
...

遗憾的是这种方式仍然对某些几何处理不友好，例如我们想要对网格平滑滤波，需要用到相邻顶点的坐标，此时想要直接获得相邻顶点的坐标是较为困难的。

Halfedge Data Structure

Complex data structures enable simpler traversal at cost of more bookkeeping.

我们需要设计一种局部性良好的数据结构来方便我们查询。

Halfedge 是网格处理中非常流行的数据结构。我们知道一条边被两个面所占有，因此半边指的是其在对应面的部分，半边的方向即为该面的方向。

在每个顶点上需要记录所有以该顶点为起点的半边，每个面上需要记录所有与该面相邻的半边，而每条半边自身还需要记录它的反向半边(flip)、下一条半边(next)以及半边自身的起点和所在面的编号。

除此之外，半边数据结构还可以方便转换为对偶形式。假设有一函数 \(f\in \mathbb R^{|V|}\) 将每点映射为一个实数：

那么假如我们希望对函数 \(f\) 做积分，我们应该如何定义被积元素？

仿照曲线积分，我们为每一个顶点分配一个面积，而函数的积分等于顶点处函数值乘上 dual cell 的面积：

实际上，根据 dual cell，我们可以在原始网格的基础上定义一个对偶网格，这样一个曲面实际上对应了两个网格：