Curvature¶

Second Fundamental Form¶

为了衡量曲面偏离平面的程度，我们引入了曲率的概念。曲率不仅用来区分不同的曲面，还用来描述如何嵌入到空间中。

回忆之前定义的曲面法向，我们记曲面（流形）为 \(\mathcal M\)，曲面上 \(\mathbf p\) 点的单位法向量为 \(\mathbf n\)，切空间为 \(T_\mathbf p \mathcal M\)：

仿照曲线的 Gauss Map，我们可类似地定义曲面上的高斯映射，它将曲面的点映射到单位球上：

同时为了方便后面的推导，我们引入映射微分的定义。

对于流形 \(\mathcal{M}\) 到流形 \(\mathcal{N}\) 的映射 \(\varphi: \mathcal M \rightarrow \mathcal N\)，在点 \(\mathbf{p}\in \mathcal M\) 取一个切向量 \(\mathbf v \in T_\mathbf p \mathcal M\)，并且用穿过 \(\mathbf p\) 的曲线 \(\gamma(t)\) 来表示该向量：\(\gamma(0)=\mathbf p,\ \gamma '(0)=v\)。

则 \(\varphi\) 在 \(\mathbf p\) 处的微分 \(d \varphi_\mathbf{p} : T_\mathbf{p} \mathcal{M} \rightarrow T_{\varphi(\mathbf{p})} \mathcal{N}\) 可以表示为：

对于高斯映射 \(\mathbf n: \mathcal M \rightarrow \mathbb S^2\)，我们代入微分公式可以得到：

由于 Gauss 映射 \(\mathbf{n}\) 的像总在单位球面上，且 \(\|\mathbf n \|^2 =1\)，我们沿 \(\gamma\) 求导可以得到：

即 \((\mathbf{n} \circ \gamma)'(0) \perp \mathbf{n}_\mathbf{p}\)，这表示 \(d \mathbf{n}_\mathbf{p} (\mathbf{v})\) 一定位于切平面 \(T_\mathbf{p} \mathcal{M}\) 上，即

实际上 \(d\mathbf{n}_\mathbf{p}\) 也称为 shape operator。

与 Shape Operator 对应的对称双线性型称为第二基本型（Second Fundamental）：

如果我们将切平面上两个相同的向量 \(\gamma'(0) = \mathbf{T} \in T_\mathbf{p} \mathcal{M}\) 送入第二基本形式 \(\mathbf{II}\)，可以发现第二基本形式连接了曲线与曲面的法向。首先利用切平面和曲面法向的定义有：

对两边同时微分可以获得：

式中，\(\mathbf{T}(s)\) 和 \(\mathbf{N}(s)\) 分别为曲线 \(\gamma(s)\) 的切向和法向，\(\kappa\) 则是曲线的曲率。注意到左边第二项的形式可以改写为曲面的第二基本形式：

因此有