Steganography

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Introduction

• 水印（Watermark） 追求的目标是不可感知（Imperceptible）——嵌入的信息人眼/耳看不见，但允许存在统计上可检测到的痕迹。版权保护场景下，即使对手知道"这张图可能含水印"，他们也需要特定密钥才能读出水印内容。
• 隐写术（Steganography） 追求更高的目标——不可探测（Undetectable）。不仅内容不可读，连"是否存在隐藏信息"这件事本身都不能被察觉。换句话说，含密图像（stego image）和普通图像的统计分布必须无法区分。

这个区别决定了两者在设计时的根本权衡：水印可以为了鲁棒性牺牲一些统计隐蔽性，隐写术则必须将统计不可区分性置于首位。

在通信模型中，发送方和接收方持有相同密钥，而在信道中传输的 Stego Work 则可能被监控信道的 Wardon（守卫）监听到。根据 Wardon 对信道的干预程度，我们分为：

• 被动守卫（Passive Warden） — 被动守卫只观察、分析，不修改传输内容。他的目标是判断"是否有秘密通信在发生"，但不会破坏内容。这是隐写分析（steganalysis）的典型场景。
• 主动守卫（Active Warden） — 会对传输内容进行修改（如压缩、加噪），以破坏可能存在的隐藏信息。此时嵌入算法需要具备一定的鲁棒性。
• 恶意守卫（Malicious Warden） — 最具威胁性，不仅分析和修改内容，还可能主动冒充 Alice 或 Bob，进行中间人攻击。

本课程大部分内容集中在 Passive 的模式，即只对 Stego Work 进行隐写分析

根据载体作品的来源与处理方式，嵌入分为三类：

• 1. 覆盖查找（Cover Lookup） 载体作品预先存在且不被修改。发送方从一个大型数据库中选择最适合携带目标消息的载体来传输。载体本身不变，消息通过"选择哪个载体"来编码。
• 2. 覆盖合成（Cover Synthesis） 载体作品是按需生成的，同样不会被修改。生成过程本身受消息控制，输出的是一个自然的合成载体。
• 3. 覆盖修改（Cover Modification） 最常见的方式：使用一个预先存在的载体，通过对其进行细微修改来嵌入消息。绝大多数实际隐写系统（包括 LSB、OutGuess、F5 等）都属于这一类。

作为隐写术的简单尝试，我们使用 LSB 进行消息嵌入。我们将像素分为不相交的对 \((2i,2i+1)\)，人眼无法简单差距一个对之间像素值的差异。嵌入时：

• 要嵌入比特 1：将像素值设为偶数→奇数，即 2i → 2i+1
• 要嵌入比特 0：将像素值设为奇数→偶数，即 2i+1 → 2i

这样每个像素可携带 1 bit，且修改幅度仅为 ±1。然而，虽然 LSB 单次修改幅度小，但大量替换后，图像的像素值直方图会产生明显的“配对效应”，一个对的两个值会趋向均等，这种统计异常极易被检测：

OutGuess

JPEG 将图像分割为 8×8 像素块，对每块做 DCT，得到 64 个 DCT 系数 \(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{64}\)，其中：

• \(c_1\) 是 DC 系数（直流分量，代表块的平均亮度）
• 其余是 AC 系数（交流分量，代表不同频率的细节）

量化步骤：将 DCT 系数除以量化步长并取整，高频系数（人眼不敏感）被大幅量化为 0，实现压缩。

在统计上，对于 JPEG 图像的 DCT 系数直方图，系数等于 0 的频率有巨大的峰值，并且向两边递减下降，相邻柱形的频率差也单调递减：

OutGuess 是一个专门针对 JPEG 图像的隐写算法，目标是在嵌入消息的同时保持 DCT 系数的统计特性，它在嵌入后会再进行一次修正：

• 第一遍（嵌入）：沿伪随机游走路径，用 LSB 替换方法将消息嵌入选定的 DCT 系数。此时直方图已被破坏。
• 第二遍（修正）：遍历未被第一遍使用的系数，通过选择性地翻转这些系数的值，将直方图修复到接近原始状态。
• 嵌入容量的上限：OutGuess 的最大嵌入量不能无限增加，受限于"最不平衡的 LSB 对"。

对于一个值对 \((U, L)\)（其中 \(U\gt L\) 是正常状态），设用于嵌入的比例为 \(q\in [0,1]\)：

• 嵌入后 \(U\) 减少为 \(U-(U−L)\cdot q/2\)
  • 嵌入比例为 \(q\)，而每次嵌入有 \(1/2\) 概率修改 LSB，考虑到 \(U\rightarrow L\) 和 \(L\rightarrow U\)
• 修正时最多能将 \(L\cdot (1−q)\) 个系数改回 \(U\)
  • 因为 \(L\cdot q\) 部分都在第一遍被嵌入（就算它没有被修改）

为了抵消 \((U-L) \cdot q/2\) 的影响，将 \(U/L\) 恢复到初始比例，我们需要保证：

\[ (U-L) \cdot q /2 \lt L\cdot (1-q) \Rightarrow q\lt \frac{2L}{U+L} \]

因此，越不平衡的对（\(L\) 很小），能承载的嵌入比例 \(q\) 就越低，从而限制了总嵌入容量。

通常我们不对 \((0,1)\) 这一对 DCT 系数进行修改，因为这会显著影响直方图

Model-Based Steganography

广义柯西分布 GCD 对 DCT 系数分布进行了精确数学建模：

\[ P(x) = \frac{p-1}{2s}\left|\frac{|x|}{s}+1\right|^{-p} \]

该分布函数的两个可调整参数为 \(p\gt 1, s\gt 0\)。对于隐写术，如果嵌入后的含密图像其系数分布仍然完美符合 GCD，则守卫从统计角度无法区分。因此，嵌入过程需要将消息 bit 映射为符合 GCD 的系数修改模式。

嵌入的消息比特流可能是均匀分布（uniformly distributed）的，我们可以通过算术编码 Arithmetic Coding 将其转换为更符合 GCD 分布的系数修改序列：

• 嵌入时（解压缩方向）： 均匀分布比特流 → 算术解压 → GCD 分布比特流 → 用来修改 DCT 系数
• 提取时（压缩方向）： 从 DCT 系数读出 GCD 分布比特流 → 算术压缩 → 均匀分布比特流（即原始消息）

我们定义嵌入效率 Embedding Efficiency 为每单位修改所能嵌入的平均比特数，这是衡量隐写算法优劣的核心指标之一。

以 LSB 的嵌入效率为例

• 每像素嵌入 1 bit
• 修改概率为 0.5
• 效率 \(=1/0.5=2\)

对于值对 \((2i,2i+1)\)，\(2i\) 的概率为 \(p_0\)，基于信息论，可以得到基于模型的隐写术方法的嵌入效率计算公式为：

将嵌入效率和 \(p_0\) 绘制成函数图，则可见当 \(p_0=0.5\) 时嵌入效率最低（退化到 LSB）；系数分布越不平衡，嵌入效率越高：

Masking Embedding as Natural Processing

本节介绍的算法的核心思想均为“让隐写看起来像正常压缩流程”，其具体有两条实现路线：

• 保留统计特性——修改方式要让DCT系数的直方图分布保持和未处理图像一样，代价是损失一部分嵌入容量（capacity）。
• 模仿自然过程——让修改行为和JPEG正常量化取整的过程高度相似，使攻击者无法区分"嵌入过"还是"正常压缩过"。F3、F4、F5就是这条路线下逐步演进的算法家族。

Jsteg

Jsteg 是 JPEG 域最早、最朴素的隐写方案，其相当于 DCT 系数域的 LSB 替换。

同 LSB 隐写一样，Jsteg 会导致 DCT 系数直方图的 \((2i,2i+1)\) 对趋于相同，这个异常可以轻易被统计检验发现。

F3

F3的改进思路：调整系数时向0方向收缩，而不是直接替换LSB。除此之外，若调整后系数变为 0，则跳过这个系数，继续用下一个系数嵌同一个消息位，这被称为 Shrinkage。

Example

F3 只在嵌入 0 时发生收缩，这等效于消息位嵌入了更多的 0，导致嵌入后的 DCT 系数可能发生 \(P(2i)>P(2i-1)\)。这既破坏了统计，又浪费了容量。

F4

F4的核心改进：对负系数反转嵌入，使得收缩在嵌 0 和嵌 1 时概率相等，从而修复直方图异常。

Example

值得一提的是，上述几个算法都是直接遍历系数进行嵌入，导致图像被修改部分集中在上部。攻击者可以通过比较 JPEG 图像的相似块，或者用逆向 GCD 分析来推断出哪些系数被修改过。

解决方案是采用随机游走 Random Walk，用密钥生成伪随机遍历顺序，打乱嵌入位置。

DefectsRandom Walk

F5

F5 算法通过矩阵编码大幅提升嵌入效率，相当于 F4 + Matirx Encoding + Random Walk。

以最简单的 \((3,2)\) 矩阵编码为例，如果我想要嵌入 2 bit 消息 \(b_{1}, b_{2}\) 到 \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) 中，那么我们比对：

b₁ = LSB(x₁) XOR LSB(x₂)
b₂ = LSB(x₂) XOR LSB(x₃)

如果消息不满足以上关系，我们只需要修改一个系数即可：

哪个等式不满足	00	10	01	11
修改哪个系数	/	\(\bar{x_1}\)	\(\bar{x_3}\)	\(\bar{x_2}\)

Embedding Efficiency

\[2/(3/4)=8/3\gt2\]

推广到一般情况，对于 \(p\) 位消息，我们使用 \(2^p-1\) 个系数用于嵌入，则对应的矩阵编码为 \(H\in \{0,1\}^{p×(2^p−1)}\) 。如果我们收到了嵌入后的序列 \(c\)，那么可以直接通过 \(m=Hc\) 来提取出 \(p\) 位消息。

由于每次嵌入只用修改 1 bit，我们的平均修改次数为 \(0\times \frac{1}{2^{p}}+ 1 \times ( 1 - \frac{1}{2^{p}})\)，那么嵌入效率为：

\[ p / ( 1 - \frac{1}{2^{p}}) \]

p	系数 2ᵖ−1	效率 p/(1−1/2ᵖ)
1	1	2
2	3	8/3 ≈ 2.67
3	7	24/7 ≈ 3.43
4	15	≈ 4.27
∞	∞	→ ∞

由此可见 \(p\) 越大效率越高，但同时每次嵌入需要更多系数，容量（payload）下降。

Embedding Efficiency 存在上界，具体推导可见课件

Selection Rule

像 Random Walk 这种，收发双方通过相同密钥就能知道哪些位置被使用的选择规则称为 Shared Selection Rule。

Nonshared Selection Rule 则是只有发送方知道哪些位置被嵌入，而接收方需要额外的约定才能获取这些位置，然后恢复消息。

例如，我们可以利用 JPEG 量化时的取整进行嵌入。我们知道，JPEG 计算的 DCT 系数是浮点数，发送方可以计算得到量化前的系数浮点值。接下来选取舍入误差最大的系数进行优先嵌入。例如，我们要嵌入浮点值 \(5.47\)：

• 若要嵌 0（目标整数值为偶数6）：距离 +0.53
• 若要嵌 1（目标整数值为奇数5）：距离 −0.47

为什么选舍入误差最大（最接近 \(x.5\)）的系数？

嵌入这些系数更接近正常量化误差，使得统计特性更自然

Wet Paper

湿纸码是一个信息论问题，用"在湿纸上写字"作为比喻：

• 载体图像 x：有"湿区域"（不可修改）和"干区域"（可修改）
• 发送方：知道湿区域在哪里，只能修改干区域
• 接收方：收到图像时纸已干，不知道哪些位置原来是湿的
• 问题：如何在接收方不知道可修改位置的情况下，仍能正确读取隐藏消息？并尽量多嵌入比特？

这等价于含缺陷单元的存储器写入问题 Writing in Memory with Defective Cells

写入者（机器）知道哪些存储单元是"卡死"的（stuck cells），但读取者不知道。

解决方式仍然可以是 Matrix Embedding，不过这次新增了一个约束，即湿区域的系数不能被修改。

Steganalysis

隐写分析本质上是二分类问题：判断一张图像是"载体图像"还是"隐写图像"。分析中有两类错误：

• 虚警（False Alarm）：将正常图像误判为隐写图像（假阳性）
• 漏检（False Detection）：将隐写图像误判为正常图像（假阴性）

性能评估通常用ROC曲线（接收者操作特征曲线）表示，横轴为假阳性率，纵轴为假阴性率，曲线越靠近左上角越好。

Sample Pairs Analysis

给定一个像素值序列 \(s_1, s_2, \ldots, s_n\)​，取所有相邻像素对：

\[\mathcal{P} = \{(u,v) = (s_i, s_{i+1}),\ 1 \le i \le n\}\]

实践中常取不重叠对：\((s_1,s_2),(s_3,s_4),\ldots,(s_{n-1},s_n)\)。

对 \(\mathcal{P}\) 中的每个对 \((u, v)\)，按 \(v\) 的奇偶性和 \(u,v\) 大小关系进行分类：

	\(v\%2=0\)	\(v\%2=1\)
\(u=v\)	\(\mathcal{Z}\)	\(\mathcal{Z}\)
\(u\lt v\)	\(\mathcal{X}\)	\(\mathcal{Y}\)
\(u\gt v\)	\(\mathcal{Y}\)	\(\mathcal{X}\)

• \(\mathcal Z\)：相等对，两像素值完全相同
• \(\mathcal{X}\)：\(v\) 为偶且 \(u\lt v\)，或 \(v\) 为奇且 \(u\gt v\)
• \(\mathcal{Y}\)：\(v\) 为偶且 \(u\gt v\)，或 \(v\) 为奇且 \(u\lt v\)
  • \(\mathcal Y\) 被进一步划分为 \(\mathcal W\) 和 \(\mathcal V\)
  • \(\mathcal W = \{(u=2k,v=2k+1)\lor (u=2k+1,v=2k), k\in \mathbf Z\}\)
    • 或者可以说 \(|u-v|=1\)
  • \(\mathcal V = \mathcal Y - \mathcal W\)

统计上，\(\mathcal X\) 和 \(\mathcal Y\) 的大小是近似相等的，\(\mathcal{P}\) 的 Partition 大致如下：

对于 \((u,v)\)，根据 Modification Patterns 的不同，我们可以绘制如下的状态机：

假设 \(m\) 为消息比特数，\(n\) 为载体像素数，\(q=m/n\) 为相对消息长度，则每一个 Modification 发生的概率为 \(q/2\)，则各修改模式的概率为：

\[\begin{array}l \rho(00,P) = \left(1-\frac{q}{2}\right)^2 \\ \rho(01,P) = \rho(10,P) = \frac{q}{2}\left(1-\frac{q}{2}\right) \\ \rho(11,P) = \left(\frac{q}{2}\right)^2 \end{array}\]

由此得到各类转移概率的合并：

根据转移概率，计算嵌入后各集合的期望大小：

$\(\begin{array}l |\mathcal{X}'| = |\mathcal{X}|(1-q/2) + |\mathcal{V}|q/2 \\ |\mathcal{V}'| = |\mathcal{V}|(1-q/2) + |\mathcal{X}|q/2 \\ |\mathcal{W}'| = |\mathcal{W}|(1-q+q^2/2) + |\mathcal{Z}|q(1-q/2) \end{array}\)$ 为了分析求解得到 \(q\)，我们做如下变换，从而得到关于 \(q\) 的一元二次方程：

\[\frac{\gamma}{2}q^2 + (2|\mathcal{X}'| - |\mathcal{P}|)q + (|\mathcal{Y}'| - |\mathcal{X}'|) = 0\]

其中 \(\gamma = |\mathcal{W}| + |\mathcal{Z}| = |\mathcal{W}'| + |\mathcal{Z}'|\)（LSB bin的大小，嵌入前后不变）。

解一元二次方程，处理各种边界情况：

1. 若 \(\gamma = 0\)：退化为 \(0=0\)，无法估计
2. 若出现两个复共轭根：取实部作为估计
3. 若出现负根：令 \(p=0\)（表示未嵌入消息）
4. 取两个实根中在 \([0,1]\) 范围内、更合理的那个

JPEGRAW SCAN

实验结果分析

• JPEG图像：对 \(q=0.05, 0.25, 0.5\) 的估计值分布非常集中于真实值附近，估计精度高
• 原始扫描图像：估计分布有一定展宽，精度略低，因为扫描图像噪声更大
• 分析：图像噪声对短消息的估计影响更大；局部相邻对（neighboring pairs）比全局样本对效果更好，因为局部相关性更强

Blind Steganalysis Using Calibration

无法直接获得原始载体图像时，通过将隐写图像平移4像素后重新压缩来近似估计原始载体的统计特征。

对JPEG图像，平移4像素恰好改变了DCT块的划分边界，重压缩后得到 \(J_2\)​，其统计特性近似于未经隐写的图像，可作为"参考"。

\[fi=∥Fi(J1)−Fi(J2)∥\]

其中 \(J_1\)​ 是隐写图像，\(J_2\)​ 是平移重压缩后的图像，\(F_i\)​ 是各种统计特征函数。

若 \(f_i\)​ 足够大，则说明 \(J_1\) 的统计特征异常，存在隐写。特征 \(F_i\) 可以是DCT系数直方图、共生矩阵等。通过训练或手工设计找到对隐写最敏感的 \(F_i\)​。

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